Theorem fnfvima 7253

Description: The function value of an operand in a set is contained in the image of that set, using the Fn abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvima	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Proof of Theorem fnfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6669	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → Fun 𝐹)
3		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
4		fndm 6672	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 = 𝐴)
6	3, 5	sseqtrrd 4037	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ dom 𝐹)
7	2, 6	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹))
8		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
9		funfvima2 7251	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆)))
10	7, 8, 9	sylc 65	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  dom cdm 5689   “ cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-fv 6571

This theorem is referenced by:  fnfvimad  7254  isomin  7357  isofrlem  7360  fnwelem  8155  fimaproj  8159  php3  9247  php3OLD  9259  fissuni  9395  unxpwdom2  9626  cantnflt  9710  dfac12lem2  10183  ackbij2  10280  isf34lem7  10417  isf34lem6  10418  zorn2lem2  10535  ttukeylem5  10551  tskuni  10821  axpre-sup  11207  limsupval2  15513  mgmhmima  18741  mhmimalem  18850  mhmima  18851  ghmnsgima  19271  psgnunilem1  19526  dprdfeq0  20057  dprd2dlem1  20076  rhmimasubrnglem  20582  lmhmima  21064  lmcnp  23328  basqtop  23735  tgqtop  23736  kqfvima  23754  reghmph  23817  uzrest  23921  qustgpopn  24144  qustgplem  24145  cphsqrtcl  25232  lhop  26070  ig1peu  26229  ig1pdvds  26234  plypf1  26266  nosupno  27763  nosupbday  27765  noinfno  27778  noinfbday  27780  noetasuplem4  27796  noetainflem4  27800  eqscut2  27866  scutun12  27870  scutbdaybnd  27875  scutbdaybnd2  27876  scutbdaylt  27878  madebdaylemlrcut  27952  cofcut1  27969  cofcutr  27973  lrrecfr  27991  negsproplem4  28078  negsproplem5  28079  negsproplem6  28080  f1otrg  28894  txomap  33795  sitgaddlemb  34330  f1resrcmplf1dlem  35079  cvmopnlem  35263  mrsubrn  35498  msubrn  35514  poimirlem4  37611  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem23  37630  cnambfre  37655  ftc1anclem7  37686  ftc1anc  37688  aks6d1c2  42112  aks6d1c7lem1  42162  isnumbasgrplem1  43090  funimaeq  45191