Theorem fnfvima 7049

Description: The function value of an operand in a set is contained in the image of that set, using the Fn abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvima	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Proof of Theorem fnfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6479	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	3ad2ant1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → Fun 𝐹)
3		simp2 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
4		fndm 6481	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	3ad2ant1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 = 𝐴)
6	3, 5	sseqtrrd 3942	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ dom 𝐹)
7	2, 6	jca 515	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹))
8		simp3 1140	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
9		funfvima2 7047	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆)))
10	7, 8, 9	sylc 65	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  dom cdm 5551   “ cima 5554  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  ‘cfv 6380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-fv 6388

This theorem is referenced by:  fnfvimad  7050  isomin  7146  isofrlem  7149  fnwelem  7898  fimaproj  7902  php3  8832  fissuni  8981  unxpwdom2  9204  cantnflt  9287  dfac12lem2  9758  ackbij2  9857  isf34lem7  9993  isf34lem6  9994  zorn2lem2  10111  ttukeylem5  10127  tskuni  10397  axpre-sup  10783  limsupval2  15041  mhmima  18251  ghmnsgima  18646  psgnunilem1  18885  dprdfeq0  19409  dprd2dlem1  19428  lmhmima  20084  lmcnp  22201  basqtop  22608  tgqtop  22609  kqfvima  22627  reghmph  22690  uzrest  22794  qustgpopn  23017  qustgplem  23018  cphsqrtcl  24081  lhop  24913  ig1peu  25069  ig1pdvds  25074  plypf1  25106  f1otrg  26962  txomap  31498  sitgaddlemb  32027  f1resrcmplf1dlem  32771  cvmopnlem  32953  mrsubrn  33188  msubrn  33204  nosupno  33643  nosupbday  33645  noinfno  33658  noinfbday  33660  noetasuplem4  33676  noetainflem4  33680  eqscut2  33737  scutun12  33741  scutbdaybnd  33746  scutbdaybnd2  33747  scutbdaylt  33749  madebdaylemlrcut  33816  cofcut1  33827  cofcutr  33829  lrrecfr  33837  poimirlem4  35518  poimirlem6  35520  poimirlem7  35521  poimirlem16  35530  poimirlem17  35531  poimirlem19  35533  poimirlem20  35534  poimirlem23  35537  cnambfre  35562  ftc1anclem7  35593  ftc1anc  35595  isnumbasgrplem1  40629  funimaeq  42464  mgmhmima  45029