Theorem fnfvima 7167

Description: The function value of an operand in a set is contained in the image of that set, using the Fn abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvima	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Proof of Theorem fnfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6581	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → Fun 𝐹)
3		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
4		fndm 6584	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 = 𝐴)
6	3, 5	sseqtrrd 3972	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ dom 𝐹)
7	2, 6	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹))
8		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
9		funfvima2 7165	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆)))
10	7, 8, 9	sylc 65	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  dom cdm 5616   “ cima 5619  Fun wfun 6475   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  fnfvimad  7168  isomin  7271  isofrlem  7274  fnwelem  8061  fimaproj  8065  php3  9118  fissuni  9241  unxpwdom2  9474  cantnflt  9562  dfac12lem2  10033  ackbij2  10130  isf34lem7  10267  isf34lem6  10268  zorn2lem2  10385  ttukeylem5  10401  tskuni  10671  axpre-sup  11057  limsupval2  15384  mgmhmima  18620  mhmimalem  18729  mhmima  18730  ghmnsgima  19150  psgnunilem1  19403  dprdfeq0  19934  dprd2dlem1  19953  rhmimasubrnglem  20478  lmhmima  20979  lmcnp  23217  basqtop  23624  tgqtop  23625  kqfvima  23643  reghmph  23706  uzrest  23810  qustgpopn  24033  qustgplem  24034  cphsqrtcl  25109  lhop  25946  ig1peu  26105  ig1pdvds  26110  plypf1  26142  nosupno  27640  nosupbday  27642  noinfno  27655  noinfbday  27657  noetasuplem4  27673  noetainflem4  27677  eqscut2  27745  scutun12  27749  scutbdaybnd  27754  scutbdaybnd2  27755  scutbdaylt  27757  madebdaylemlrcut  27842  cofcut1  27862  cofcutr  27866  lrrecfr  27884  negsproplem4  27971  negsproplem5  27972  negsproplem6  27973  f1otrg  28847  txomap  33842  sitgaddlemb  34356  f1resrcmplf1dlem  35093  cvmopnlem  35310  mrsubrn  35545  msubrn  35561  poimirlem4  37663  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem23  37682  cnambfre  37707  ftc1anclem7  37738  ftc1anc  37740  aks6d1c2  42162  aks6d1c7lem1  42212  isnumbasgrplem1  43133  relpmin  44984  relpfrlem  44985  permaxun  45043  funimaeq  45282