Theorem fnfvima 7270

Description: The function value of an operand in a set is contained in the image of that set, using the Fn abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvima	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Proof of Theorem fnfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6679	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → Fun 𝐹)
3		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
4		fndm 6682	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 = 𝐴)
6	3, 5	sseqtrrd 4050	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ dom 𝐹)
7	2, 6	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹))
8		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
9		funfvima2 7268	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆)))
10	7, 8, 9	sylc 65	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  dom cdm 5700   “ cima 5703  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  fnfvimad  7271  isomin  7373  isofrlem  7376  fnwelem  8172  fimaproj  8176  php3  9275  php3OLD  9287  fissuni  9427  unxpwdom2  9657  cantnflt  9741  dfac12lem2  10214  ackbij2  10311  isf34lem7  10448  isf34lem6  10449  zorn2lem2  10566  ttukeylem5  10582  tskuni  10852  axpre-sup  11238  limsupval2  15526  mgmhmima  18753  mhmimalem  18859  mhmima  18860  ghmnsgima  19280  psgnunilem1  19535  dprdfeq0  20066  dprd2dlem1  20085  rhmimasubrnglem  20591  lmhmima  21069  lmcnp  23333  basqtop  23740  tgqtop  23741  kqfvima  23759  reghmph  23822  uzrest  23926  qustgpopn  24149  qustgplem  24150  cphsqrtcl  25237  lhop  26075  ig1peu  26234  ig1pdvds  26239  plypf1  26271  nosupno  27766  nosupbday  27768  noinfno  27781  noinfbday  27783  noetasuplem4  27799  noetainflem4  27803  eqscut2  27869  scutun12  27873  scutbdaybnd  27878  scutbdaybnd2  27879  scutbdaylt  27881  madebdaylemlrcut  27955  cofcut1  27972  cofcutr  27976  lrrecfr  27994  negsproplem4  28081  negsproplem5  28082  negsproplem6  28083  f1otrg  28897  txomap  33780  sitgaddlemb  34313  f1resrcmplf1dlem  35062  cvmopnlem  35246  mrsubrn  35481  msubrn  35497  poimirlem4  37584  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem23  37603  cnambfre  37628  ftc1anclem7  37659  ftc1anc  37661  aks6d1c2  42087  aks6d1c7lem1  42137  isnumbasgrplem1  43058  funimaeq  45155