Theorem fnfvima 7262

Description: The function value of an operand in a set is contained in the image of that set, using the Fn abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvima	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Proof of Theorem fnfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6661	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → Fun 𝐹)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
4		fndm 6664	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 = 𝐴)
6	3, 5	sseqtrrd 3950	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ dom 𝐹)
7	2, 6	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹))
8		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
9		funfvima2 7260	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆)))
10	7, 8, 9	sylc 66	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  dom cdm 5655   “ cima 5658  Fun wfun 6552   Fn wfn 6553  ‘cfv 6558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-fv 6566

This theorem is used by:  fnfvimad  7263  f1resrcmplf1dlem  7301  isomin  7368  isofrlem  7371  fnwelem  8170  fimaproj  8179  php3  9252  fissuni  9374  unxpwdom2  9609  cantnflt  9700  dfac12lem2  10250  ackbij2  10347  isf34lem7  10484  isf34lem6  10485  zorn2lem2  10602  ttukeylem5  10618  tskuni  10895  axpre-sup  11281  limsupval2  15676  mgmhmima  18933  mhmimalem  19049  mhmima  19050  ghmnsgima  19483  psgnunilem1  19737  dprdfeq0  20268  dprd2dlem1  20287  rhmimasubrnglem  20847  lmhmima  21352  lmcnp  23652  basqtop  24060  tgqtop  24061  kqfvima  24079  reghmph  24142  uzrest  24246  qustgpopn  24469  qustgplem  24470  cphsqrtcl  25535  lhop  26366  ig1peu  26523  ig1pdvds  26528  plypf1  26561  nosupno  28090  nosupbday  28092  noinfno  28105  noinfbday  28107  noetasuplem4  28123  noetainflem4  28127  eqcuts2  28202  cutsun12  28206  cutbdaybnd  28211  cutbdaybnd2  28212  cutbdaylt  28214  madebdaylemlrcut  28315  sltsbday  28333  cofcut1  28336  cofcutr  28340  lrrecfr  28359  negsproplem4  28447  negsproplem5  28448  negsproplem6  28449  f1otrg  29478  txomap  34536  sitgaddlemb  35050  fnfvintima  35786  dfscott3  35827  noinfepfnregs  35900  cvmopnlem  36210  mrsubrn  36445  msubrn  36461  ttcid  37458  dfttc2g  37472  regsfromunir1  37506  poimirlem4  38734  poimirlem6  38736  poimirlem7  38737  poimirlem16  38746  poimirlem17  38747  poimirlem19  38749  poimirlem20  38750  poimirlem23  38753  cnambfre  38778  ftc1anclem7  38809  ftc1anc  38811  aks6d1c2  43372  aks6d1c7lem1  43422  isnumbasgrplem1  44295  relpmin  46137  relpfrlem  46138  permaxun  46196  funimaeq  46463