Theorem fnfvima 7091

Description: The function value of an operand in a set is contained in the image of that set, using the Fn abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvima	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Proof of Theorem fnfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6517	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → Fun 𝐹)
3		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
4		fndm 6520	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → dom 𝐹 = 𝐴)
6	3, 5	sseqtrrd 3958	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ dom 𝐹)
7	2, 6	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹))
8		simp3 1136	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
9		funfvima2 7089	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆)))
10	7, 8, 9	sylc 65	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ (𝐹 “ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  dom cdm 5580   “ cima 5583  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  fnfvimad  7092  isomin  7188  isofrlem  7191  fnwelem  7943  fimaproj  7947  php3  8899  fissuni  9054  unxpwdom2  9277  cantnflt  9360  dfac12lem2  9831  ackbij2  9930  isf34lem7  10066  isf34lem6  10067  zorn2lem2  10184  ttukeylem5  10200  tskuni  10470  axpre-sup  10856  limsupval2  15117  mhmima  18378  ghmnsgima  18773  psgnunilem1  19016  dprdfeq0  19540  dprd2dlem1  19559  lmhmima  20224  lmcnp  22363  basqtop  22770  tgqtop  22771  kqfvima  22789  reghmph  22852  uzrest  22956  qustgpopn  23179  qustgplem  23180  cphsqrtcl  24253  lhop  25085  ig1peu  25241  ig1pdvds  25246  plypf1  25278  f1otrg  27136  txomap  31686  sitgaddlemb  32215  f1resrcmplf1dlem  32958  cvmopnlem  33140  mrsubrn  33375  msubrn  33391  nosupno  33833  nosupbday  33835  noinfno  33848  noinfbday  33850  noetasuplem4  33866  noetainflem4  33870  eqscut2  33927  scutun12  33931  scutbdaybnd  33936  scutbdaybnd2  33937  scutbdaylt  33939  madebdaylemlrcut  34006  cofcut1  34017  cofcutr  34019  lrrecfr  34027  poimirlem4  35708  poimirlem6  35710  poimirlem7  35711  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem20  35724  poimirlem23  35727  cnambfre  35752  ftc1anclem7  35783  ftc1anc  35785  isnumbasgrplem1  40842  funimaeq  42681  mgmhmima  45244