MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnfvima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnfvima 7118
Description: The function value of an operand in a set is contained in the image of that set, using the Fn abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnfvima ((𝐹 Fn 𝐴𝑆𝐴𝑋𝑆) → (𝐹𝑋) ∈ (𝐹𝑆))

Proof of Theorem fnfvima
StepHypRef Expression
1 fnfun 6542 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝑆𝐴𝑋𝑆) → Fun 𝐹)
3 simp2 1136 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝑆𝐴𝑋𝑆) → 𝑆𝐴)
4 fndm 6545 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
543ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝑆𝐴𝑋𝑆) → dom 𝐹 = 𝐴)
63, 5sseqtrrd 3963 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝑆𝐴𝑋𝑆) → 𝑆 ⊆ dom 𝐹)
72, 6jca 512 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝑆𝐴𝑋𝑆) → (Fun 𝐹𝑆 ⊆ dom 𝐹))
8 simp3 1137 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝑆𝐴𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
9 funfvima2 7116 . 2 ((Fun 𝐹𝑆 ⊆ dom 𝐹) → (𝑋𝑆 → (𝐹𝑋) ∈ (𝐹𝑆)))
107, 8, 9sylc 65 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝑆𝐴𝑋𝑆) → (𝐹𝑋) ∈ (𝐹𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3888  dom cdm 5590  cima 5593  Fun wfun 6431   Fn wfn 6432  cfv 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-fv 6445
This theorem is referenced by:  fnfvimad  7119  isomin  7217  isofrlem  7220  fnwelem  7981  fimaproj  7985  php3  9004  php3OLD  9016  fissuni  9133  unxpwdom2  9356  cantnflt  9439  dfac12lem2  9909  ackbij2  10008  isf34lem7  10144  isf34lem6  10145  zorn2lem2  10262  ttukeylem5  10278  tskuni  10548  axpre-sup  10934  limsupval2  15198  mhmima  18472  ghmnsgima  18867  psgnunilem1  19110  dprdfeq0  19634  dprd2dlem1  19653  lmhmima  20318  lmcnp  22464  basqtop  22871  tgqtop  22872  kqfvima  22890  reghmph  22953  uzrest  23057  qustgpopn  23280  qustgplem  23281  cphsqrtcl  24357  lhop  25189  ig1peu  25345  ig1pdvds  25350  plypf1  25382  f1otrg  27241  txomap  31793  sitgaddlemb  32324  f1resrcmplf1dlem  33067  cvmopnlem  33249  mrsubrn  33484  msubrn  33500  nosupno  33915  nosupbday  33917  noinfno  33930  noinfbday  33932  noetasuplem4  33948  noetainflem4  33952  eqscut2  34009  scutun12  34013  scutbdaybnd  34018  scutbdaybnd2  34019  scutbdaylt  34021  madebdaylemlrcut  34088  cofcut1  34099  cofcutr  34101  lrrecfr  34109  poimirlem4  35790  poimirlem6  35792  poimirlem7  35793  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem19  35805  poimirlem20  35806  poimirlem23  35809  cnambfre  35834  ftc1anclem7  35865  ftc1anc  35867  isnumbasgrplem1  40933  funimaeq  42799  mgmhmima  45367
  Copyright terms: Public domain W3C validator