MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvima2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvima2 7182
Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
funfvima2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvima2
StepHypRef Expression
1 funfvima 7181 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
21ex 414 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
32com23 86 . . 3 (Fun 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
43a2d 29 . 2 (Fun 𝐹 → ((𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
5 ssel 3938 . 2 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹))
64, 5impel 507 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wss 3911  dom cdm 5634  cima 5637  Fun wfun 6491  cfv 6497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-fv 6505
This theorem is referenced by:  funfvima2d  7183  fnfvima  7184  resfvresima  7186  f1oweALT  7906  tz7.49  8392  phimullem  16656  mrcuni  17506  frlmsslsp  21218  lindfrn  21243  iscldtop  22462  1stcfb  22812  2ndcomap  22825  rnelfm  23320  fmfnfmlem2  23322  fmfnfmlem4  23324  qtopbaslem  24138  tgqioo  24179  bndth  24337  volsup  24936  dyadmbllem  24979  opnmbllem  24981  itg1addlem4  25079  itg1addlem4OLD  25080  c1liplem1  25376  dvcnvrelem1  25397  dvcnvrelem2  25398  plyco0  25569  plyaddlem1  25590  plymullem1  25591  dvloglem  26019  logf1o2  26021  efopn  26029  nocvxminlem  27139  nocvxmin  27140  axcontlem10  27964  imaelshi  31042  funimass4f  31597  sitgclg  32999  cvmliftlem3  33938  ivthALT  34853  opnmbllem0  36160  ismtyres  36313  heibor1lem  36314  ismrc  41067  aomclem4  41427
  Copyright terms: Public domain W3C validator