Theorem funfvima2 7234

Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvima 7233	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))
2	1	ex 411	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
3	2	com23 86	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
4	3	a2d 29	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
5		ssel 3974	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ dom 𝐹))
6	4, 5	impel 504	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  dom cdm 5675   “ cima 5678  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-fv 6550

This theorem is referenced by:  funfvima2d  7235  fnfvima  7236  resfvresima  7238  f1oweALT  7961  tz7.49  8447  phimullem  16716  mrcuni  17569  frlmsslsp  21570  lindfrn  21595  iscldtop  22819  1stcfb  23169  2ndcomap  23182  rnelfm  23677  fmfnfmlem2  23679  fmfnfmlem4  23681  qtopbaslem  24495  tgqioo  24536  bndth  24704  volsup  25305  dyadmbllem  25348  opnmbllem  25350  itg1addlem4  25448  itg1addlem4OLD  25449  c1liplem1  25748  dvcnvrelem1  25769  dvcnvrelem2  25770  plyco0  25941  plyaddlem1  25962  plymullem1  25963  dvloglem  26392  logf1o2  26394  efopn  26402  nocvxminlem  27515  nocvxmin  27516  axcontlem10  28498  imaelshi  31578  funimass4f  32128  sitgclg  33639  cvmliftlem3  34576  ivthALT  35523  opnmbllem0  36827  ismtyres  36979  heibor1lem  36980  ismrc  41741  aomclem4  42101