MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvima2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvima2 6765
Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
funfvima2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvima2
StepHypRef Expression
1 funfvima 6764 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
21ex 403 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
32com23 86 . . 3 (Fun 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
43a2d 29 . 2 (Fun 𝐹 → ((𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
5 ssel 3815 . 2 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹))
64, 5impel 501 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107  wss 3792  dom cdm 5355  cima 5358  Fun wfun 6129  cfv 6135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-fv 6143
This theorem is referenced by:  fnfvimad  6766  resfvresima  6767  fnfvima  6769  f1oweALT  7429  tz7.49  7823  phimullem  15888  mrcuni  16667  frlmsslsp  20539  lindfrn  20564  iscldtop  21307  1stcfb  21657  2ndcomap  21670  rnelfm  22165  fmfnfmlem2  22167  fmfnfmlem4  22169  qtopbaslem  22970  tgqioo  23011  bndth  23165  volsup  23760  dyadmbllem  23803  opnmbllem  23805  itg1addlem4  23903  c1liplem1  24196  dvcnvrelem1  24217  dvcnvrelem2  24218  plyco0  24385  plyaddlem1  24406  plymullem1  24407  dvloglem  24831  logf1o2  24833  efopn  24841  axcontlem10  26322  imaelshi  29489  funimass4f  30002  sitgclg  31002  cvmliftlem3  31868  nocvxminlem  32482  nocvxmin  32483  ivthALT  32918  opnmbllem0  34071  ismtyres  34231  heibor1lem  34232  ismrc  38224  aomclem4  38586  funfvima2d  39425
  Copyright terms: Public domain W3C validator