MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvima2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvima2 6985
Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
funfvima2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvima2
StepHypRef Expression
1 funfvima 6984 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
21ex 416 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
32com23 86 . . 3 (Fun 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
43a2d 29 . 2 (Fun 𝐹 → ((𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
5 ssel 3946 . 2 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹))
64, 5impel 509 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wss 3919  dom cdm 5542  cima 5545  Fun wfun 6337  cfv 6343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-fv 6351
This theorem is referenced by:  funfvima2d  6986  fnfvima  6987  resfvresima  6989  f1oweALT  7668  tz7.49  8077  phimullem  16114  mrcuni  16892  frlmsslsp  20492  lindfrn  20517  iscldtop  21707  1stcfb  22057  2ndcomap  22070  rnelfm  22565  fmfnfmlem2  22567  fmfnfmlem4  22569  qtopbaslem  23371  tgqioo  23412  bndth  23570  volsup  24167  dyadmbllem  24210  opnmbllem  24212  itg1addlem4  24310  c1liplem1  24606  dvcnvrelem1  24627  dvcnvrelem2  24628  plyco0  24796  plyaddlem1  24817  plymullem1  24818  dvloglem  25246  logf1o2  25248  efopn  25256  axcontlem10  26774  imaelshi  29848  funimass4f  30397  sitgclg  31661  cvmliftlem3  32595  nocvxminlem  33308  nocvxmin  33309  ivthALT  33744  opnmbllem0  35042  ismtyres  35195  heibor1lem  35196  ismrc  39563  aomclem4  39922
  Copyright terms: Public domain W3C validator