MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvima2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funfvima2 6984
Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
funfvima2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvima2
StepHypRef Expression
1 funfvima 6983 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
21ex 413 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
32com23 86 . . 3 (Fun 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
43a2d 29 . 2 (Fun 𝐹 → ((𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
5 ssel 3958 . 2 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹))
64, 5impel 506 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wss 3933  dom cdm 5548  cima 5551  Fun wfun 6342  cfv 6348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  funfvima2d  6985  fnfvima  6986  resfvresima  6988  f1oweALT  7662  tz7.49  8070  phimullem  16104  mrcuni  16880  frlmsslsp  20868  lindfrn  20893  iscldtop  21631  1stcfb  21981  2ndcomap  21994  rnelfm  22489  fmfnfmlem2  22491  fmfnfmlem4  22493  qtopbaslem  23294  tgqioo  23335  bndth  23489  volsup  24084  dyadmbllem  24127  opnmbllem  24129  itg1addlem4  24227  c1liplem1  24520  dvcnvrelem1  24541  dvcnvrelem2  24542  plyco0  24709  plyaddlem1  24730  plymullem1  24731  dvloglem  25158  logf1o2  25160  efopn  25168  axcontlem10  26686  imaelshi  29762  funimass4f  30310  sitgclg  31499  cvmliftlem3  32431  nocvxminlem  33144  nocvxmin  33145  ivthALT  33580  opnmbllem0  34809  ismtyres  34967  heibor1lem  34968  ismrc  39176  aomclem4  39535
  Copyright terms: Public domain W3C validator