Theorem funfvima2 7107

Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvima 7106	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))
2	1	ex 413	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
3	2	com23 86	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
4	3	a2d 29	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
5		ssel 3914	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ dom 𝐹))
6	4, 5	impel 506	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  dom cdm 5589   “ cima 5592  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-fv 6441

This theorem is referenced by:  funfvima2d  7108  fnfvima  7109  resfvresima  7111  f1oweALT  7815  tz7.49  8276  phimullem  16480  mrcuni  17330  frlmsslsp  21003  lindfrn  21028  iscldtop  22246  1stcfb  22596  2ndcomap  22609  rnelfm  23104  fmfnfmlem2  23106  fmfnfmlem4  23108  qtopbaslem  23922  tgqioo  23963  bndth  24121  volsup  24720  dyadmbllem  24763  opnmbllem  24765  itg1addlem4  24863  itg1addlem4OLD  24864  c1liplem1  25160  dvcnvrelem1  25181  dvcnvrelem2  25182  plyco0  25353  plyaddlem1  25374  plymullem1  25375  dvloglem  25803  logf1o2  25805  efopn  25813  axcontlem10  27341  imaelshi  30420  funimass4f  30972  sitgclg  32309  cvmliftlem3  33249  nocvxminlem  33972  nocvxmin  33973  ivthALT  34524  opnmbllem0  35813  ismtyres  35966  heibor1lem  35967  ismrc  40523  aomclem4  40882