Theorem funfvima2 6971

Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvima 6970	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))
2	1	ex 416	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
3	2	com23 86	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
4	3	a2d 29	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
5		ssel 3908	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ dom 𝐹))
6	4, 5	impel 509	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  dom cdm 5519   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  funfvima2d  6972  fnfvima  6973  resfvresima  6975  f1oweALT  7655  tz7.49  8064  phimullem  16106  mrcuni  16884  frlmsslsp  20485  lindfrn  20510  iscldtop  21700  1stcfb  22050  2ndcomap  22063  rnelfm  22558  fmfnfmlem2  22560  fmfnfmlem4  22562  qtopbaslem  23364  tgqioo  23405  bndth  23563  volsup  24160  dyadmbllem  24203  opnmbllem  24205  itg1addlem4  24303  c1liplem1  24599  dvcnvrelem1  24620  dvcnvrelem2  24621  plyco0  24789  plyaddlem1  24810  plymullem1  24811  dvloglem  25239  logf1o2  25241  efopn  25249  axcontlem10  26767  imaelshi  29841  funimass4f  30396  sitgclg  31710  cvmliftlem3  32647  nocvxminlem  33360  nocvxmin  33361  ivthALT  33796  opnmbllem0  35093  ismtyres  35246  heibor1lem  35247  ismrc  39642  aomclem4  40001