Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fundcmpsurbijinjpreimafv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fundcmpsurbijinjpreimafv 46075
Description: Every function 𝐹:𝐴⟢𝐡 can be decomposed into a surjective function onto 𝑃, a bijective function from 𝑃 and an injective function into the codomain of 𝐹. (Contributed by AV, 22-Mar-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
fundcmpsurinj.p 𝑃 = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})}
Assertion
Ref Expression
fundcmpsurbijinjpreimafv ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒβ„Žβˆƒπ‘–((𝑔:𝐴–onto→𝑃 ∧ β„Ž:𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ 𝑖:(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡) ∧ 𝐹 = ((𝑖 ∘ β„Ž) ∘ 𝑔)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑧   𝐴,𝑖,𝑔,β„Ž   𝐡,𝑔,β„Ž,𝑖   π‘₯,𝐡,𝑧   𝑖,𝐹,𝑔,β„Ž   𝑃,𝑖,𝑔,β„Ž   π‘₯,𝑃,𝑔,β„Ž   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧)   𝑉(𝑧,𝑔,β„Ž,𝑖)
Proof of Theorem fundcmpsurbijinjpreimafv
Dummy variables π‘Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
21mptexd 7226 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∈ V)
3 fundcmpsurinj.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})}
43setpreimafvex 46051 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑃 ∈ V)
54adantl 483 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑃 ∈ V)
65mptexd 7226 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ V)
7 ffun 6721 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ Fun 𝐹)
8 funimaexg 6635 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ V)
97, 8sylan 581 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) ∈ V)
109resiexd 7218 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ V)
112, 6, 103jca 1129 . 2 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ V ∧ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ V))
12 ffn 6718 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
13 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘₯))
1413sneqd 4641 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘₯ β†’ {(πΉβ€˜π‘Ž)} = {(πΉβ€˜π‘₯)})
1514imaeq2d 6060 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}) = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))
1615cbvmptv 5262 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))
173, 16fundcmpsurinjlem2 46067 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})):𝐴–onto→𝑃)
1812, 17sylan 581 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})):𝐴–onto→𝑃)
19 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))
203, 19imasetpreimafvbij 46074 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)):𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
2112, 20sylan 581 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)):𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
22 f1oi 6872 . . . . . 6 ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴)
23 f1of1 6833 . . . . . 6 (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1β†’(𝐹 β€œ 𝐴))
24 fimass 6739 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† 𝐡)
25 f1ss 6794 . . . . . . . 8 ((( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1β†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡)
2624, 25sylan2 594 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1β†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡)
2726ex 414 . . . . . 6 (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1β†’(𝐹 β€œ 𝐴) β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡))
2822, 23, 27mp2b 10 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡)
2928adantr 482 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡)
3018, 21, 293jca 1129 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})):𝐴–onto→𝑃 ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)):𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡))
3112adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
32 uniimaprimaeqfv 46050 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) = (πΉβ€˜π‘Ž))
3331, 32sylan 581 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) = (πΉβ€˜π‘Ž))
3433fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}))) = (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜(πΉβ€˜π‘Ž)))
3534mpteq2dva 5249 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))) = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜(πΉβ€˜π‘Ž))))
36 ffrn 6732 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹:𝐴⟢ran 𝐹)
3837funfvima2d 7234 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (𝐹 β€œ 𝐴))
39 fvresi 7171 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘Ž) ∈ (𝐹 β€œ 𝐴) β†’ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜(πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜π‘Ž))
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜(πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜π‘Ž))
4140mpteq2dva 5249 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜(πΉβ€˜π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘Ž)))
4235, 41eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))) = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘Ž)))
4312ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
441adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
45 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
463preimafvelsetpreimafv 46056 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}) ∈ 𝑃)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}) ∈ 𝑃)
48 eqidd 2734 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))
49 eqidd 2734 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))))
50 imaeq2 6056 . . . . . . . 8 (𝑦 = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) = (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))
5150unieqd 4923 . . . . . . 7 (𝑦 = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦) = βˆͺ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))
5251fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝑦 = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}) β†’ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) = (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}))))
5347, 48, 49, 52fmptco 7127 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}))) = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))))
54 dffn5 6951 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘Ž)))
5512, 54sylib 217 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘Ž)))
5655adantr 482 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘Ž)))
5742, 53, 563eqtr4rd 2784 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 = ((𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}))))
58 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)⟢(𝐹 β€œ 𝐴))
5922, 58mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)⟢(𝐹 β€œ 𝐴))
60 fnima 6681 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = ran 𝐹)
6160eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ ran 𝐹 = (𝐹 β€œ 𝐴))
6261feq2d 6704 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):ran 𝐹⟢(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)⟢(𝐹 β€œ 𝐴)))
6359, 62mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):ran 𝐹⟢(𝐹 β€œ 𝐴))
643uniimaelsetpreimafv 46064 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦) ∈ ran 𝐹)
6563, 64cofmpt 7130 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))))
6665eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) = (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))))
6731, 66syl 17 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) = (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))))
6867coeq1d 5862 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))β€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}))) = ((( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}))))
6957, 68eqtrd 2773 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 = ((( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}))))
7030, 69jca 513 . 2 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})):𝐴–onto→𝑃 ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)):𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡) ∧ 𝐹 = ((( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))))
71 foeq1 6802 . . . . . 6 (𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) β†’ (𝑔:𝐴–onto→𝑃 ↔ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})):𝐴–onto→𝑃))
72713ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ (𝑔:𝐴–onto→𝑃 ↔ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})):𝐴–onto→𝑃))
73 f1oeq1 6822 . . . . . 6 (β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) β†’ (β„Ž:𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)):𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴)))
74733ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ (β„Ž:𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)):𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴)))
75 f1eq1 6783 . . . . . 6 (𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) β†’ (𝑖:(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡 ↔ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡))
76753ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ (𝑖:(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡 ↔ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡))
7772, 74, 763anbi123d 1437 . . . 4 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ ((𝑔:𝐴–onto→𝑃 ∧ β„Ž:𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ 𝑖:(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡) ↔ ((π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})):𝐴–onto→𝑃 ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)):𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡)))
78 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)))
79 simp2 1138 . . . . . . 7 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)))
8078, 79coeq12d 5865 . . . . . 6 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ (𝑖 ∘ β„Ž) = (( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))))
81 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ 𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))
8280, 81coeq12d 5865 . . . . 5 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ ((𝑖 ∘ β„Ž) ∘ 𝑔) = ((( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}))))
8382eqeq2d 2744 . . . 4 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ (𝐹 = ((𝑖 ∘ β„Ž) ∘ 𝑔) ↔ 𝐹 = ((( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))))
8477, 83anbi12d 632 . . 3 ((𝑔 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∧ β„Ž = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴))) β†’ (((𝑔:𝐴–onto→𝑃 ∧ β„Ž:𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ 𝑖:(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡) ∧ 𝐹 = ((𝑖 ∘ β„Ž) ∘ 𝑔)) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})):𝐴–onto→𝑃 ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)):𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡) ∧ 𝐹 = ((( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)}))))))
8584spc3egv 3594 . 2 (((π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})) ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)) ∈ V ∧ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ V) β†’ ((((π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})):𝐴–onto→𝑃 ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦)):𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ ( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)):(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡) ∧ 𝐹 = ((( I β†Ύ (𝐹 β€œ 𝐴)) ∘ (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑦))) ∘ (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘Ž)})))) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒβ„Žβˆƒπ‘–((𝑔:𝐴–onto→𝑃 ∧ β„Ž:𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ 𝑖:(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡) ∧ 𝐹 = ((𝑖 ∘ β„Ž) ∘ 𝑔))))
8611, 70, 85sylc 65 1 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒβ„Žβˆƒπ‘–((𝑔:𝐴–onto→𝑃 ∧ β„Ž:𝑃–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ∧ 𝑖:(𝐹 β€œ 𝐴)–1-1→𝐡) ∧ 𝐹 = ((𝑖 ∘ β„Ž) ∘ 𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552
This theorem is referenced by:  fundcmpsurinjpreimafv  46076  fundcmpsurbijinj  46078
  Copyright terms: Public domain W3C validator