Theorem fvtp2g 7219

Description: The value of a function with a domain of (at most) three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvtp2g	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = 𝐸)

Proof of Theorem fvtp2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tprot 4749	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = {⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}
2	1	fveq1i 6907	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵)
3		necom 2994	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		fvtp1g 7218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸)
5	4	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸))
6	5	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸))
7	3, 6	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸))
8	7	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩, ⟨𝐴, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐸)
9	2, 8	eqtrid 2789	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐵) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {ctp 4630  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-res 5697  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569

This theorem is referenced by:  fvtp3g  7220