MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infexd 9415
Description: An infimum is a set. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
infexd.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
Assertion
Ref Expression
infexd (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)

Proof of Theorem infexd
StepHypRef Expression
1 df-inf 9375 . 2 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
2 infexd.1 . . . 4 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
3 cnvso 6238 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
42, 3sylib 217 . . 3 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
54supexd 9385 . 2 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)
61, 5eqeltrid 2842 1 (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3443   Or wor 5542  ccnv 5630  supcsup 9372  infcinf 9373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-po 5543  df-so 5544  df-cnv 5639  df-sup 9374  df-inf 9375
This theorem is referenced by:  infex  9425  omsfval  32763  wsucex  34271  prproropf1olem4  45630  prmdvdsfmtnof1  45711
  Copyright terms: Public domain W3C validator