Theorem infexd 9552

Description: An infimum is a set. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infexd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infexd	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)

Proof of Theorem infexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9512	. 2 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		infexd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
3		cnvso 6319	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 Or 𝐴)
5	4	supexd 9522	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ V)
6	1, 5	eqeltrid 2848	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   Or wor 5606  ^◡ccnv 5699  supcsup 9509  infcinf 9510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-po 5607  df-so 5608  df-cnv 5708  df-sup 9511  df-inf 9512

This theorem is referenced by:  infex  9562  omsfval  34259  wsucex  35790  prproropf1olem4  47380  prmdvdsfmtnof1  47461