Theorem nfinf 9202

Description: Hypothesis builder for infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfinf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfinf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
nfinf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑅

Assertion

Ref	Expression
nfinf	⊢ Ⅎ𝑥inf(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9163	. 2 ⊢ inf(𝐴, 𝐵, 𝑅) = sup(𝐴, 𝐵, ◡𝑅)
2		nfinf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfinf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
4		nfinf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
5	4	nfcnv 5784	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝑅
6	2, 3, 5	nfsup 9171	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, ◡𝑅)
7	1, 6	nfcxfr 2906	1 ⊢ Ⅎ𝑥inf(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Syntax hints:  Ⅎwnfc 2888  ^◡ccnv 5587  supcsup 9160  infcinf 9161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-xp 5594  df-cnv 5596  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-sup 9162  df-inf 9163

This theorem is referenced by:  iundisj  24693  iundisjf  30907  iundisjfi  31096  nfwsuc  33791  nfwlim  33795  allbutfiinf  42914  infrpgernmpt  42959  liminflelimsuplem  43270  stoweidlem62  43557  fourierdlem31  43633  iunhoiioolem  44167  smfinf  44302  prmdvdsfmtnof1lem1  44988