Theorem nfinf 8940

Description: Hypothesis builder for infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfinf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfinf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
nfinf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑅

Assertion

Ref	Expression
nfinf	⊢ Ⅎ𝑥inf(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 8901	. 2 ⊢ inf(𝐴, 𝐵, 𝑅) = sup(𝐴, 𝐵, ◡𝑅)
2		nfinf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfinf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
4		nfinf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
5	4	nfcnv 5743	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝑅
6	2, 3, 5	nfsup 8909	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥sup(𝐴, 𝐵, ◡𝑅)
7	1, 6	nfcxfr 2975	1 ⊢ Ⅎ𝑥inf(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Syntax hints:  Ⅎwnfc 2961  ^◡ccnv 5548  supcsup 8898  infcinf 8899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-cnv 5557  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-sup 8900  df-inf 8901

This theorem is referenced by:  iundisj  24143  iundisjf  30333  iundisjfi  30513  nfwsuc  33100  nfwlim  33104  allbutfiinf  41687  infrpgernmpt  41734  liminflelimsuplem  42049  stoweidlem62  42341  fourierdlem31  42417  iunhoiioolem  42951  smfinf  43086  prmdvdsfmtnof1lem1  43740