Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prproropf1olem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prproropf1olem4 46659
Description: Lemma 4 for prproropf1o 46660. (Contributed by AV, 14-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prproropf1o.o 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))
prproropf1o.p 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘) = 2}
prproropf1o.f 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)
Assertion
Ref Expression
prproropf1olem4 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘Š) β†’ 𝑍 = π‘Š))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑝   π‘Š,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑍,𝑝
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑝)
Proof of Theorem prproropf1olem4
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prproropf1o.f . . . 4 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)
2 infeq1 9467 . . . . 5 (𝑝 = 𝑍 β†’ inf(𝑝, 𝑉, 𝑅) = inf(𝑍, 𝑉, 𝑅))
3 supeq1 9436 . . . . 5 (𝑝 = 𝑍 β†’ sup(𝑝, 𝑉, 𝑅) = sup(𝑍, 𝑉, 𝑅))
42, 3opeq12d 4873 . . . 4 (𝑝 = 𝑍 β†’ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩)
5 simp3 1135 . . . 4 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
6 opex 5454 . . . . 5 ⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V
76a1i 11 . . . 4 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ ⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V)
81, 4, 5, 7fvmptd3 7011 . . 3 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩)
9 infeq1 9467 . . . . 5 (𝑝 = π‘Š β†’ inf(𝑝, 𝑉, 𝑅) = inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅))
10 supeq1 9436 . . . . 5 (𝑝 = π‘Š β†’ sup(𝑝, 𝑉, 𝑅) = sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅))
119, 10opeq12d 4873 . . . 4 (𝑝 = π‘Š β†’ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩)
12 simp2 1134 . . . 4 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ π‘Š ∈ 𝑃)
13 opex 5454 . . . . 5 ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V)
151, 11, 12, 14fvmptd3 7011 . . 3 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘Š) = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩)
168, 15eqeq12d 2740 . 2 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘Š) ↔ ⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩))
17 prproropf1o.p . . . . 5 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘) = 2}
1817prpair 46654 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑))
1917prpair 46654 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 Or 𝑉 β†’ 𝑅 Or 𝑉)
2120infexd 9474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 Or 𝑉 β†’ inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) ∈ V)
2220supexd 9444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 Or 𝑉 β†’ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) ∈ V)
2321, 22jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 Or 𝑉 β†’ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) ∈ V ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) ∈ V))
2423ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) ∈ V ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) ∈ V))
25 opthg 5467 . . . . . . . . . . . . 13 ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) ∈ V ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) ∈ V) β†’ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ↔ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ ↔ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))))
27 solin 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Žπ‘…π‘ ∨ π‘Ž = 𝑏 ∨ π‘π‘…π‘Ž))
28 infpr 9494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏))
29283expb 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏))
30 iftrue 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘Žπ‘…π‘ β†’ if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏) = π‘Ž)
3129, 30sylan9eqr 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž)
3231eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž))
33 suppr 9462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏))
34333expb 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏))
36 sotric 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Žπ‘…π‘ ↔ Β¬ (π‘Ž = 𝑏 ∨ π‘π‘…π‘Ž)))
37 ioran 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (Β¬ (π‘Ž = 𝑏 ∨ π‘π‘…π‘Ž) ↔ (Β¬ π‘Ž = 𝑏 ∧ Β¬ π‘π‘…π‘Ž))
38 iffalse 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (Β¬ π‘π‘…π‘Ž β†’ if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏) = 𝑏)
3937, 38simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (Β¬ (π‘Ž = 𝑏 ∨ π‘π‘…π‘Ž) β†’ if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏) = 𝑏)
4036, 39syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Žπ‘…π‘ β†’ if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏) = 𝑏))
4140impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏) = 𝑏)
4235, 41eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏)
4342eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏))
4432, 43anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) ↔ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏)))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) ↔ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏)))
46 solin 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑐𝑅𝑑 ∨ 𝑐 = 𝑑 ∨ 𝑑𝑅𝑐))
4746adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (𝑐𝑅𝑑 ∨ 𝑐 = 𝑑 ∨ 𝑑𝑅𝑐))
48 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ 𝑅 Or 𝑉)
49 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
50 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
51 infpr 9494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑))
53 iftrue 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑐𝑅𝑑 β†’ if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = 𝑐)
5452, 53sylan9eqr 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑐)
5554eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ↔ 𝑐 = π‘Ž))
56 suppr 9462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑑𝑅𝑐, 𝑐, 𝑑))
5748, 49, 50, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑑𝑅𝑐, 𝑐, 𝑑))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑑𝑅𝑐, 𝑐, 𝑑))
59 sotric 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑐𝑅𝑑 ↔ Β¬ (𝑐 = 𝑑 ∨ 𝑑𝑅𝑐)))
6059adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (𝑐𝑅𝑑 ↔ Β¬ (𝑐 = 𝑑 ∨ 𝑑𝑅𝑐)))
61 ioran 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Β¬ (𝑐 = 𝑑 ∨ 𝑑𝑅𝑐) ↔ (Β¬ 𝑐 = 𝑑 ∧ Β¬ 𝑑𝑅𝑐))
62 iffalse 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Β¬ 𝑑𝑅𝑐 β†’ if(𝑑𝑅𝑐, 𝑐, 𝑑) = 𝑑)
6361, 62simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (Β¬ (𝑐 = 𝑑 ∨ 𝑑𝑅𝑐) β†’ if(𝑑𝑅𝑐, 𝑐, 𝑑) = 𝑑)
6460, 63syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (𝑐𝑅𝑑 β†’ if(𝑑𝑅𝑐, 𝑐, 𝑑) = 𝑑))
6564impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ if(𝑑𝑅𝑐, 𝑐, 𝑑) = 𝑑)
6658, 65eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑑)
6766eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ↔ 𝑑 = 𝑏))
6855, 67anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) ↔ (𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏)))
69 orc 864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))
7068, 69syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
7170ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐𝑅𝑑 β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
72 eqneqall 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = 𝑑 β†’ (𝑐 β‰  𝑑 β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
7372adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑑 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
7473adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 = 𝑑 β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
7552adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑))
7675eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ↔ if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = π‘Ž))
77 iftrue 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑𝑅𝑐 β†’ if(𝑑𝑅𝑐, 𝑐, 𝑑) = 𝑐)
7857, 77sylan9eqr 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑐)
7978eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ↔ 𝑐 = 𝑏))
8076, 79anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) ↔ (if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = π‘Ž ∧ 𝑐 = 𝑏)))
81 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))
8281ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (𝑑 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
83 sotric 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑑 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑑𝑅𝑐 ↔ Β¬ (𝑑 = 𝑐 ∨ 𝑐𝑅𝑑)))
8482, 83sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (𝑑𝑅𝑐 ↔ Β¬ (𝑑 = 𝑐 ∨ 𝑐𝑅𝑑)))
85 ioran 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Β¬ (𝑑 = 𝑐 ∨ 𝑐𝑅𝑑) ↔ (Β¬ 𝑑 = 𝑐 ∧ Β¬ 𝑐𝑅𝑑))
86 iffalse 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Β¬ 𝑐𝑅𝑑 β†’ if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = 𝑑)
8785, 86simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (Β¬ (𝑑 = 𝑐 ∨ 𝑐𝑅𝑑) β†’ if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = 𝑑)
8887eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (Β¬ (𝑑 = 𝑐 ∨ 𝑐𝑅𝑑) β†’ (if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = π‘Ž ↔ 𝑑 = π‘Ž))
8984, 88syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (𝑑𝑅𝑐 β†’ (if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = π‘Ž ↔ 𝑑 = π‘Ž)))
9089impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = π‘Ž ↔ 𝑑 = π‘Ž))
9190anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = π‘Ž ∧ 𝑐 = 𝑏) ↔ (𝑑 = π‘Ž ∧ 𝑐 = 𝑏)))
92 olc 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))
9392ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑 = π‘Ž ∧ 𝑐 = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))
9491, 93syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = π‘Ž ∧ 𝑐 = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
9580, 94sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
9695ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑𝑅𝑐 β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
9771, 74, 963jaoi 1424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑐𝑅𝑑 ∨ 𝑐 = 𝑑 ∨ 𝑑𝑅𝑐) β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
9847, 97mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
9998ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 Or 𝑉 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
10099ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
101100imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
10245, 101sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
103102ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
104103a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Žπ‘…π‘ ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))))
105104ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Žπ‘…π‘ β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))))
106 eqneqall 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))))
107106a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))))
10829adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏))
109 sotric 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (π‘π‘…π‘Ž ↔ Β¬ (𝑏 = π‘Ž ∨ π‘Žπ‘…π‘)))
110109ancom2s 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘π‘…π‘Ž ↔ Β¬ (𝑏 = π‘Ž ∨ π‘Žπ‘…π‘)))
111 ioran 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (Β¬ (𝑏 = π‘Ž ∨ π‘Žπ‘…π‘) ↔ (Β¬ 𝑏 = π‘Ž ∧ Β¬ π‘Žπ‘…π‘))
112 iffalse 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (Β¬ π‘Žπ‘…π‘ β†’ if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏) = 𝑏)
113111, 112simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (Β¬ (𝑏 = π‘Ž ∨ π‘Žπ‘…π‘) β†’ if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏) = 𝑏)
114110, 113syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘π‘…π‘Ž β†’ if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏) = 𝑏))
115114impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ if(π‘Žπ‘…π‘, π‘Ž, 𝑏) = 𝑏)
116108, 115eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏)
117116eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏))
118 iftrue 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘π‘…π‘Ž β†’ if(π‘π‘…π‘Ž, π‘Ž, 𝑏) = π‘Ž)
11934, 118sylan9eqr 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž)
120119eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ↔ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž))
121117, 120anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) ↔ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž)))
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) ↔ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž)))
12354eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ↔ 𝑐 = 𝑏))
12466eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ↔ 𝑑 = π‘Ž))
125123, 124anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) ↔ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))
126125, 92syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑐𝑅𝑑 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
127126ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐𝑅𝑑 β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
128 eqneqall 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = 𝑑 β†’ (𝑐 β‰  𝑑 β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
129128adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑐 = 𝑑 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
130129adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑐 = 𝑑 β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
13184, 87syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (𝑑𝑅𝑐 β†’ if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = 𝑑))
132131impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ if(𝑐𝑅𝑑, 𝑐, 𝑑) = 𝑑)
13375, 132eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑑)
134133eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ↔ 𝑑 = 𝑏))
13578eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž ↔ 𝑐 = π‘Ž))
136134, 135anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) ↔ (𝑑 = 𝑏 ∧ 𝑐 = π‘Ž)))
13769ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 = 𝑏 ∧ 𝑐 = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))
138136, 137syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑𝑅𝑐 ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
139138ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑑𝑅𝑐 β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
140127, 130, 1393jaoi 1424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑐𝑅𝑑 ∨ 𝑐 = 𝑑 ∨ 𝑑𝑅𝑐) β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
14147, 140mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
142141ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 Or 𝑉 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
143142ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
144143imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = 𝑏 ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = π‘Ž) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
145122, 144sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) ∧ ((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
146145ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
147146a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘π‘…π‘Ž ∧ (𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))))
148147ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘π‘…π‘Ž β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))))
149105, 107, 1483jaoi 1424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Žπ‘…π‘ ∨ π‘Ž = 𝑏 ∨ π‘π‘…π‘Ž) β†’ ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))))
15027, 149mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))))
151150adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))))
152151imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (((𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
153152expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑐 β‰  𝑑 β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
154153adantld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))))
155154imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž))))
156 vex 3470 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑐 ∈ V
157 vex 3470 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑑 ∈ V
158 vex 3470 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Ž ∈ V
159 vex 3470 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏 ∈ V
160156, 157, 158, 159preq12b 4843 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏} ↔ ((𝑐 = π‘Ž ∧ 𝑑 = 𝑏) ∨ (𝑐 = 𝑏 ∧ 𝑑 = π‘Ž)))
161155, 160imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅) ∧ sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)) β†’ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏}))
16226, 161sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏}))
163 infeq1 9467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} β†’ inf(𝑍, 𝑉, 𝑅) = inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅))
164 supeq1 9436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} β†’ sup(𝑍, 𝑉, 𝑅) = sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅))
165163, 164opeq12d 4873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} β†’ ⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩)
166 infeq1 9467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} β†’ inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅) = inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
167 supeq1 9436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} β†’ sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅) = sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅))
168166, 167opeq12d 4873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} β†’ ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩)
169165, 168eqeqan12rd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ 𝑍 = {𝑐, 𝑑}) β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ ↔ ⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩))
170 eqeq12 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ π‘Š = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ (𝑍 = π‘Š ↔ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏}))
171170ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ 𝑍 = {𝑐, 𝑑}) β†’ (𝑍 = π‘Š ↔ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏}))
172169, 171imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ 𝑍 = {𝑐, 𝑑}) β†’ ((⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š) ↔ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏})))
173172ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} β†’ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} β†’ ((⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š) ↔ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏}))))
174173ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} β†’ ((⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š) ↔ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏}))))
175174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} β†’ ((⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š) ↔ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏}))))
176175com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} β†’ ((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š) ↔ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏}))))
177176adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š) ↔ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏}))))
178177impcom 407 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ ((⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š) ↔ (⟨inf({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅), sup({𝑐, 𝑑}, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅), sup({π‘Ž, 𝑏}, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ {𝑐, 𝑑} = {π‘Ž, 𝑏})))
179162, 178mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š))
180179ex 412 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š)))
181180rexlimdvva 3203 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š)))
182181ex 412 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š))))
183182rexlimdvva 3203 . . . . . 6 (𝑅 Or 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š))))
184183com13 88 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Š = {π‘Ž, 𝑏} ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ (𝑅 Or 𝑉 β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š))))
18519, 184biimtrid 241 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 (𝑍 = {𝑐, 𝑑} ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (π‘Š ∈ 𝑃 β†’ (𝑅 Or 𝑉 β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š))))
18618, 185sylbi 216 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑃 β†’ (π‘Š ∈ 𝑃 β†’ (𝑅 Or 𝑉 β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š))))
1871863imp31 1109 . 2 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ (⟨inf(𝑍, 𝑉, 𝑅), sup(𝑍, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(π‘Š, 𝑉, 𝑅), sup(π‘Š, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ 𝑍 = π‘Š))
18816, 187sylbid 239 1 ((𝑅 Or 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘Š) β†’ 𝑍 = π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   ∩ cin 3939  ifcif 4520  π’« cpw 4594  {cpr 4622  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Or wor 5577   Γ— cxp 5664  β€˜cfv 6533  supcsup 9431  infcinf 9432  2c2 12264  β™―chash 14287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288
This theorem is referenced by:  prproropf1o  46660
  Copyright terms: Public domain W3C validator