Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prmdvdsfmtnof1 46241
Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1 𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)
Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1
Dummy variables 𝑔 β„Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . . 3 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ))
21prmdvdsfmtnof 46240 . 2 𝐹:ran FermatNoβŸΆβ„™
3 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑓 ↔ 𝑝 βˆ₯ 𝑔))
43rabbidv 3440 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔})
54infeq1d 9468 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ))
6 id 22 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7 ltso 11290 . . . . . . . 8 < Or ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ < Or ℝ)
98infexd 9474 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
101, 5, 6, 9fvmptd3 7018 . . . . 5 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ (πΉβ€˜π‘”) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ))
11 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑓 = β„Ž β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑓 ↔ 𝑝 βˆ₯ β„Ž))
1211rabbidv 3440 . . . . . . 7 (𝑓 = β„Ž β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž})
1312infeq1d 9468 . . . . . 6 (𝑓 = β„Ž β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ))
14 id 22 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ β„Ž ∈ ran FermatNo)
157a1i 11 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ < Or ℝ)
1615infexd 9474 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) ∈ V)
171, 13, 14, 16fvmptd3 7018 . . . . 5 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ (πΉβ€˜β„Ž) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ))
1810, 17eqeqan12d 2746 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) ↔ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < )))
19 fmtnorn 46188 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔)
20 fmtnoge3 46184 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
21 uzuzle23 12869 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 ((FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔 β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2524adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2623, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2726rexlimiva 3147 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔 β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2819, 27sylbi 216 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
29 fmtnorn 46188 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ran FermatNo ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž)
3022adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
31 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 ((FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
3330, 32mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3433rexlimiva 3147 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3529, 34sylbi 216 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
36 eqid 2732 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < )
37 eqid 2732 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < )
3836, 37prmdvdsfmtnof1lem1 46238 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž)))
3928, 35, 38syl2an 596 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž)))
40 prmdvdsfmtnof1lem2 46239 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4139, 40syld 47 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4218, 41sylbid 239 . . 3 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4342rgen2 3197 . 2 βˆ€π‘” ∈ ran FermatNoβˆ€β„Ž ∈ ran FermatNo((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)
44 dff13 7250 . 2 (𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™ ↔ (𝐹:ran FermatNoβŸΆβ„™ ∧ βˆ€π‘” ∈ ran FermatNoβˆ€β„Ž ∈ ran FermatNo((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
452, 43, 44mpbir2an 709 1 𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€˜cfv 6540  infcinf 9432  β„cr 11105   < clt 11244  2c2 12263  3c3 12264  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818   βˆ₯ cdvds 16193  β„™cprime 16604  FermatNocfmtno 46181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-fmtno 46182
This theorem is referenced by:  prminf2  46242
  Copyright terms: Public domain W3C validator