Theorem prmdvdsfmtnof1 48195

Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof.1	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1	⊢ 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ

Distinct variable group:   𝑓,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfmtnof.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2	1	prmdvdsfmtnof 48194	. 2 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
3		breq2 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ 𝑔))
4	3	rabbidv 3424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔})
5	4	infeq1d 9426	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7		ltso 11278	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
9	8	infexd 9432	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 7003	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → (𝐹‘𝑔) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
11		breq2 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ ℎ))
12	11	rabbidv 3424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ})
13	12	infeq1d 9426	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ℎ → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
14		id 23	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ ran FermatNo)
15	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
16	15	infexd 9432	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) ∈ V)
17	1, 13, 14, 16	fvmptd3 7003	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → (𝐹‘ℎ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
18	10, 17	eqeqan12d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )))
19		fmtnorn 48142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔)
20		fmtnoge3 48138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
21		uzuzle23 12896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
24		eleq1 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
25	24	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
26	23, 25	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
27	26	rexlimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
28	19, 27	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
29		fmtnorn 48142	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ)
30	22	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
31		eleq1 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = ℎ → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
32	31	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
33	30, 32	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
34	33	rexlimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
35	29, 34	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
36		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < )
37		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )
38	36, 37	prmdvdsfmtnof1lem1 48192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
39	28, 35, 38	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
40		prmdvdsfmtnof1lem2 48193	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ) → 𝑔 = ℎ))
41	39, 40	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → 𝑔 = ℎ))
42	18, 41	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ))
43	42	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)
44		dff13 7242	. 2 ⊢ (𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ ↔ (𝐹:ran FermatNo⟶ℙ ∧ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
45	2, 43, 44	mpbir2an 723	1 ⊢ 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   Or wor 5558  ran crn 5652  ⟶wf 6521  –1-1→wf1 6522  ‘cfv 6525  infcinf 9389  ℝcr 11087   < clt 11231  2c2 12283  3c3 12284  ℕ₀cn0 12492  ℤ_≥cuz 12850   ∥ cdvds 16298  ℙcprime 16717  FermatNocfmtno 48135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-prod 15946  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-prm 16718  df-fmtno 48136

This theorem is referenced by:  prminf2  48196