Theorem prmdvdsfmtnof1 43756

Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof.1	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1	⊢ 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ

Distinct variable group:   𝑓,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfmtnof.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2	1	prmdvdsfmtnof 43755	. 2 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
3		breq2 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ 𝑔))
4	3	rabbidv 3483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔})
5	4	infeq1d 8944	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7		ltso 10724	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
9	8	infexd 8950	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 6794	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → (𝐹‘𝑔) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
11		breq2 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ ℎ))
12	11	rabbidv 3483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ})
13	12	infeq1d 8944	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ℎ → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ ran FermatNo)
15	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
16	15	infexd 8950	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) ∈ V)
17	1, 13, 14, 16	fvmptd3 6794	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → (𝐹‘ℎ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
18	10, 17	eqeqan12d 2841	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )))
19		fmtnorn 43703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔)
20		fmtnoge3 43699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
21		uzuzle23 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
24		eleq1 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
25	24	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
26	23, 25	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
27	26	rexlimiva 3284	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
28	19, 27	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
29		fmtnorn 43703	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ)
30	22	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
31		eleq1 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = ℎ → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
32	31	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
33	30, 32	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
34	33	rexlimiva 3284	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
35	29, 34	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
36		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < )
37		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )
38	36, 37	prmdvdsfmtnof1lem1 43753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
39	28, 35, 38	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
40		prmdvdsfmtnof1lem2 43754	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ) → 𝑔 = ℎ))
41	39, 40	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → 𝑔 = ℎ))
42	18, 41	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ))
43	42	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)
44		dff13 7016	. 2 ⊢ (𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ ↔ (𝐹:ran FermatNo⟶ℙ ∧ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
45	2, 43, 44	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  {crab 3145  Vcvv 3497   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149   Or wor 5476  ran crn 5559  ⟶wf 6354  –1-1→wf1 6355  ‘cfv 6358  infcinf 8908  ℝcr 10539   < clt 10678  2c2 11695  3c3 11696  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246   ∥ cdvds 15610  ℙcprime 16018  FermatNocfmtno 43696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-prod 15263  df-dvds 15611  df-gcd 15847  df-prm 16019  df-fmtno 43697

This theorem is referenced by:  prminf2  43757