Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1 45769
Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1
Dummy variables 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . . 3 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
21prmdvdsfmtnof 45768 . 2 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
3 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 → (𝑝𝑓𝑝𝑔))
43rabbidv 3415 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔})
54infeq1d 9413 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
6 id 22 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7 ltso 11235 . . . . . . . 8 < Or ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
98infexd 9419 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
101, 5, 6, 9fvmptd3 6971 . . . . 5 (𝑔 ∈ ran FermatNo → (𝐹𝑔) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
11 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝑓 = → (𝑝𝑓𝑝))
1211rabbidv 3415 . . . . . . 7 (𝑓 = → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝})
1312infeq1d 9413 . . . . . 6 (𝑓 = → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
14 id 22 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → ∈ ran FermatNo)
157a1i 11 . . . . . . 7 ( ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
1615infexd 9419 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) ∈ V)
171, 13, 14, 16fvmptd3 6971 . . . . 5 ( ∈ ran FermatNo → (𝐹) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
1810, 17eqeqan12d 2750 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹𝑔) = (𝐹) ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < )))
19 fmtnorn 45716 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔)
20 fmtnoge3 45712 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
21 uzuzle23 12814 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
24 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)))
2524adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)))
2623, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
2726rexlimiva 3144 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔𝑔 ∈ (ℤ‘2))
2819, 27sylbi 216 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
29 fmtnorn 45716 . . . . . . 7 ( ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = )
3022adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
31 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) = → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ ∈ (ℤ‘2)))
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ ∈ (ℤ‘2)))
3330, 32mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → ∈ (ℤ‘2))
3433rexlimiva 3144 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ∈ (ℤ‘2))
3529, 34sylbi 216 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → ∈ (ℤ‘2))
36 eqid 2736 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < )
37 eqid 2736 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < )
3836, 37prmdvdsfmtnof1lem1 45766 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ )))
3928, 35, 38syl2an 596 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ )))
40 prmdvdsfmtnof1lem2 45767 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ ) → 𝑔 = ))
4139, 40syld 47 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → 𝑔 = ))
4218, 41sylbid 239 . . 3 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = ))
4342rgen2 3194 . 2 𝑔 ∈ ran FermatNo∀ ∈ ran FermatNo((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = )
44 dff13 7202 . 2 (𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ ↔ (𝐹:ran FermatNo⟶ℙ ∧ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ ∈ ran FermatNo((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = )))
452, 43, 44mpbir2an 709 1 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Or wor 5544  ran crn 5634  wf 6492  1-1wf1 6493  cfv 6496  infcinf 9377  cr 11050   < clt 11189  2c2 12208  3c3 12209  0cn0 12413  cuz 12763  cdvds 16136  cprime 16547  FermatNocfmtno 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-fmtno 45710
This theorem is referenced by:  prminf2  45770
  Copyright terms: Public domain W3C validator