Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1 45853
Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1 𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1
Dummy variables 𝑔 β„Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . . 3 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ))
21prmdvdsfmtnof 45852 . 2 𝐹:ran FermatNoβŸΆβ„™
3 breq2 5114 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑓 ↔ 𝑝 βˆ₯ 𝑔))
43rabbidv 3418 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔})
54infeq1d 9420 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ))
6 id 22 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7 ltso 11242 . . . . . . . 8 < Or ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ < Or ℝ)
98infexd 9426 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
101, 5, 6, 9fvmptd3 6976 . . . . 5 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ (πΉβ€˜π‘”) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ))
11 breq2 5114 . . . . . . . 8 (𝑓 = β„Ž β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑓 ↔ 𝑝 βˆ₯ β„Ž))
1211rabbidv 3418 . . . . . . 7 (𝑓 = β„Ž β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž})
1312infeq1d 9420 . . . . . 6 (𝑓 = β„Ž β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ))
14 id 22 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ β„Ž ∈ ran FermatNo)
157a1i 11 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ < Or ℝ)
1615infexd 9426 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) ∈ V)
171, 13, 14, 16fvmptd3 6976 . . . . 5 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ (πΉβ€˜β„Ž) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ))
1810, 17eqeqan12d 2751 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) ↔ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < )))
19 fmtnorn 45800 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔)
20 fmtnoge3 45796 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
21 uzuzle23 12821 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2322adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 ((FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔 β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2524adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2623, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2726rexlimiva 3145 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔 β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2819, 27sylbi 216 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
29 fmtnorn 45800 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ran FermatNo ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž)
3022adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
31 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 ((FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
3231adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
3330, 32mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3433rexlimiva 3145 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3529, 34sylbi 216 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
36 eqid 2737 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < )
37 eqid 2737 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < )
3836, 37prmdvdsfmtnof1lem1 45850 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž)))
3928, 35, 38syl2an 597 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž)))
40 prmdvdsfmtnof1lem2 45851 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4139, 40syld 47 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4218, 41sylbid 239 . . 3 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4342rgen2 3195 . 2 βˆ€π‘” ∈ ran FermatNoβˆ€β„Ž ∈ ran FermatNo((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)
44 dff13 7207 . 2 (𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™ ↔ (𝐹:ran FermatNoβŸΆβ„™ ∧ βˆ€π‘” ∈ ran FermatNoβˆ€β„Ž ∈ ran FermatNo((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
452, 43, 44mpbir2an 710 1 𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Or wor 5549  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€˜cfv 6501  infcinf 9384  β„cr 11057   < clt 11196  2c2 12215  3c3 12216  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554  FermatNocfmtno 45793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-fmtno 45794
This theorem is referenced by:  prminf2  45854
  Copyright terms: Public domain W3C validator