Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1 42328
Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1
Dummy variables 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . . 3 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
21prmdvdsfmtnof 42327 . 2 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
3 breq2 4876 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 → (𝑝𝑓𝑝𝑔))
43rabbidv 3401 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔})
54infeq1d 8651 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
6 id 22 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7 ltso 10436 . . . . . . . 8 < Or ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
98infexd 8657 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
101, 5, 6, 9fvmptd3 6549 . . . . 5 (𝑔 ∈ ran FermatNo → (𝐹𝑔) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
11 breq2 4876 . . . . . . . 8 (𝑓 = → (𝑝𝑓𝑝))
1211rabbidv 3401 . . . . . . 7 (𝑓 = → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝})
1312infeq1d 8651 . . . . . 6 (𝑓 = → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
14 id 22 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → ∈ ran FermatNo)
157a1i 11 . . . . . . 7 ( ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
1615infexd 8657 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) ∈ V)
171, 13, 14, 16fvmptd3 6549 . . . . 5 ( ∈ ran FermatNo → (𝐹) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
1810, 17eqeqan12d 2840 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹𝑔) = (𝐹) ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < )))
19 fmtnorn 42275 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔)
20 fmtnoge3 42271 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
21 uzuzle23 12010 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
2322adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
24 eleq1 2893 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)))
2524adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)))
2623, 25mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
2726rexlimiva 3236 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔𝑔 ∈ (ℤ‘2))
2819, 27sylbi 209 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
29 fmtnorn 42275 . . . . . . 7 ( ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = )
3022adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
31 eleq1 2893 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) = → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ ∈ (ℤ‘2)))
3231adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ ∈ (ℤ‘2)))
3330, 32mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → ∈ (ℤ‘2))
3433rexlimiva 3236 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ∈ (ℤ‘2))
3529, 34sylbi 209 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → ∈ (ℤ‘2))
36 eqid 2824 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < )
37 eqid 2824 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < )
3836, 37prmdvdsfmtnof1lem1 42325 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ )))
3928, 35, 38syl2an 591 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ )))
40 prmdvdsfmtnof1lem2 42326 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ ) → 𝑔 = ))
4139, 40syld 47 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → 𝑔 = ))
4218, 41sylbid 232 . . 3 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = ))
4342rgen2a 3185 . 2 𝑔 ∈ ran FermatNo∀ ∈ ran FermatNo((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = )
44 dff13 6766 . 2 (𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ ↔ (𝐹:ran FermatNo⟶ℙ ∧ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ ∈ ran FermatNo((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = )))
452, 43, 44mpbir2an 704 1 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3116  wrex 3117  {crab 3120  Vcvv 3413   class class class wbr 4872  cmpt 4951   Or wor 5261  ran crn 5342  wf 6118  1-1wf1 6119  cfv 6122  infcinf 8615  cr 10250   < clt 10390  2c2 11405  3c3 11406  0cn0 11617  cuz 11967  cdvds 15356  cprime 15756  FermatNocfmtno 42268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-prod 15008  df-dvds 15357  df-gcd 15589  df-prm 15757  df-fmtno 42269
This theorem is referenced by:  prminf2  42329
  Copyright terms: Public domain W3C validator