Theorem prmdvdsfmtnof1 45039

Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof.1	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1	⊢ 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ

Distinct variable group:   𝑓,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfmtnof.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2	1	prmdvdsfmtnof 45038	. 2 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
3		breq2 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ 𝑔))
4	3	rabbidv 3414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔})
5	4	infeq1d 9236	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7		ltso 11055	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
9	8	infexd 9242	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 6898	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → (𝐹‘𝑔) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
11		breq2 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ ℎ))
12	11	rabbidv 3414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ})
13	12	infeq1d 9236	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ℎ → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ ran FermatNo)
15	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
16	15	infexd 9242	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) ∈ V)
17	1, 13, 14, 16	fvmptd3 6898	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → (𝐹‘ℎ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
18	10, 17	eqeqan12d 2752	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )))
19		fmtnorn 44986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔)
20		fmtnoge3 44982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
21		uzuzle23 12629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
24		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
25	24	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
26	23, 25	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
27	26	rexlimiva 3210	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
28	19, 27	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
29		fmtnorn 44986	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ)
30	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
31		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = ℎ → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
32	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
33	30, 32	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
34	33	rexlimiva 3210	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
35	29, 34	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
36		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < )
37		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )
38	36, 37	prmdvdsfmtnof1lem1 45036	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
39	28, 35, 38	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
40		prmdvdsfmtnof1lem2 45037	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ) → 𝑔 = ℎ))
41	39, 40	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → 𝑔 = ℎ))
42	18, 41	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ))
43	42	rgen2 3120	. 2 ⊢ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)
44		dff13 7128	. 2 ⊢ (𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ ↔ (𝐹:ran FermatNo⟶ℙ ∧ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
45	2, 43, 44	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   Or wor 5502  ran crn 5590  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433  infcinf 9200  ℝcr 10870   < clt 11009  2c2 12028  3c3 12029  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376  FermatNocfmtno 44979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-fmtno 44980

This theorem is referenced by:  prminf2  45040