Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prmdvdsfmtnof1 46990
Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1 𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)
Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1
Dummy variables 𝑔 β„Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . . 3 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ))
21prmdvdsfmtnof 46989 . 2 𝐹:ran FermatNoβŸΆβ„™
3 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑓 ↔ 𝑝 βˆ₯ 𝑔))
43rabbidv 3427 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔})
54infeq1d 9500 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ))
6 id 22 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7 ltso 11324 . . . . . . . 8 < Or ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ < Or ℝ)
98infexd 9506 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
101, 5, 6, 9fvmptd3 7025 . . . . 5 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ (πΉβ€˜π‘”) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ))
11 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑓 = β„Ž β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑓 ↔ 𝑝 βˆ₯ β„Ž))
1211rabbidv 3427 . . . . . . 7 (𝑓 = β„Ž β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž})
1312infeq1d 9500 . . . . . 6 (𝑓 = β„Ž β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ))
14 id 22 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ β„Ž ∈ ran FermatNo)
157a1i 11 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ < Or ℝ)
1615infexd 9506 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) ∈ V)
171, 13, 14, 16fvmptd3 7025 . . . . 5 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ (πΉβ€˜β„Ž) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ))
1810, 17eqeqan12d 2739 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) ↔ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < )))
19 fmtnorn 46937 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔)
20 fmtnoge3 46933 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
21 uzuzle23 12903 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2322adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 eleq1 2813 . . . . . . . . . 10 ((FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔 β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2524adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2623, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2726rexlimiva 3137 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔 β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2819, 27sylbi 216 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
29 fmtnorn 46937 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ran FermatNo ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž)
3022adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
31 eleq1 2813 . . . . . . . . . 10 ((FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
3231adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
3330, 32mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3433rexlimiva 3137 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3529, 34sylbi 216 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
36 eqid 2725 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < )
37 eqid 2725 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < )
3836, 37prmdvdsfmtnof1lem1 46987 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž)))
3928, 35, 38syl2an 594 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž)))
40 prmdvdsfmtnof1lem2 46988 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4139, 40syld 47 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4218, 41sylbid 239 . . 3 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4342rgen2 3188 . 2 βˆ€π‘” ∈ ran FermatNoβˆ€β„Ž ∈ ran FermatNo((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)
44 dff13 7263 . 2 (𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™ ↔ (𝐹:ran FermatNoβŸΆβ„™ ∧ βˆ€π‘” ∈ ran FermatNoβˆ€β„Ž ∈ ran FermatNo((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
452, 43, 44mpbir2an 709 1 𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Or wor 5588  ran crn 5678  βŸΆwf 6543  β€“1-1β†’wf1 6544  β€˜cfv 6547  infcinf 9464  β„cr 11137   < clt 11278  2c2 12297  3c3 12298  β„•0cn0 12502  β„€β‰₯cuz 12852   βˆ₯ cdvds 16230  β„™cprime 16641  FermatNocfmtno 46930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-fmtno 46931
This theorem is referenced by:  prminf2  46991
  Copyright terms: Public domain W3C validator