Theorem prmdvdsfmtnof1 48887

Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof.1	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1	⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶1-1ℙ

Distinct variable group:   𝑓,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓, 𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfmtnof.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2	1	prmdvdsfmtnof 48886	. 2 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
3		breq2 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ 𝑔))
4	3	rabbidv 3423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔})
5	4	infeq1d 9500	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7		ltso 11420	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
9	8	infexd 9506	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 7043	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → (𝐹‘𝑔) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
11		breq2 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ ℎ))
12	11	rabbidv 3423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ})
13	12	infeq1d 9500	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ℎ → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
14		id 23	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ ran FermatNo)
15	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
16	15	infexd 9506	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) ∈ V)
17	1, 13, 14, 16	fvmptd3 7043	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → (𝐹‘ℎ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
18	10, 17	eqeqan12d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )))
19		fmtnorn 48834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔)
20		fmtnoge3 48830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
21		uzuzle23 13041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
24		eleq1 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
26	23, 25	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
27	26	rexlimiva 3159	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
28	19, 27	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
29		fmtnorn 48834	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ)
30	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
31		eleq1 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = ℎ → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
33	30, 32	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
34	33	rexlimiva 3159	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
35	29, 34	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
36		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < )
37		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )
38	36, 37	prmdvdsfmtnof1lem1 48884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
39	28, 35, 38	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
40		prmdvdsfmtnof1lem2 48885	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ) → 𝑔 = ℎ))
41	39, 40	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → 𝑔 = ℎ))
42	18, 41	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ))
43	42	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)
44		dff13 7284	. 2 ⊢ (𝐹:ran FermatNo⟶1-1ℙ ↔ (𝐹:ran FermatNo⟶ℙ ∧ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
45	2, 43, 44	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶1-1ℙ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   Or wor 5563  ran crn 5657  ⟶wf 6557  ⟶1-1wf1 6558  ‘cfv 6561  infcinf 9463  ℝcr 11229   < clt 11373  2c2 12427  3c3 12428  ℕ₀cn0 12636  ℤ_≥cuz 12995   ∥ cdvds 16454  ℙcprime 16878  FermatNocfmtno 48827

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-prod 16105  df-dvds 16455  df-gcd 16697  df-prm 16879  df-fmtno 48828

This theorem is used by:  prminf2  48888