Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prmdvdsfmtnof1 46850
Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1 𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)
Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1
Dummy variables 𝑔 β„Ž 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . . 3 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ))
21prmdvdsfmtnof 46849 . 2 𝐹:ran FermatNoβŸΆβ„™
3 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑓 ↔ 𝑝 βˆ₯ 𝑔))
43rabbidv 3435 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔})
54infeq1d 9492 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑔 β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ))
6 id 22 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ 𝑔 ∈ ran FermatNo)
7 ltso 11316 . . . . . . . 8 < Or ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ < Or ℝ)
98infexd 9498 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
101, 5, 6, 9fvmptd3 7022 . . . . 5 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ (πΉβ€˜π‘”) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ))
11 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝑓 = β„Ž β†’ (𝑝 βˆ₯ 𝑓 ↔ 𝑝 βˆ₯ β„Ž))
1211rabbidv 3435 . . . . . . 7 (𝑓 = β„Ž β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓} = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž})
1312infeq1d 9492 . . . . . 6 (𝑓 = β„Ž β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ))
14 id 22 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ β„Ž ∈ ran FermatNo)
157a1i 11 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ < Or ℝ)
1615infexd 9498 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) ∈ V)
171, 13, 14, 16fvmptd3 7022 . . . . 5 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ (πΉβ€˜β„Ž) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ))
1810, 17eqeqan12d 2741 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) ↔ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < )))
19 fmtnorn 46797 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔)
20 fmtnoge3 46793 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
21 uzuzle23 12895 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 eleq1 2816 . . . . . . . . . 10 ((FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔 β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2524adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
2623, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔) β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2726rexlimiva 3142 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = 𝑔 β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2819, 27sylbi 216 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo β†’ 𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
29 fmtnorn 46797 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ ran FermatNo ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž)
3022adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
31 eleq1 2816 . . . . . . . . . 10 ((FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
3231adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ ((FermatNoβ€˜π‘›) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
3330, 32mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž) β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3433rexlimiva 3142 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (FermatNoβ€˜π‘›) = β„Ž β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3529, 34sylbi 216 . . . . . 6 (β„Ž ∈ ran FermatNo β†’ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
36 eqid 2727 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < )
37 eqid 2727 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < )
3836, 37prmdvdsfmtnof1lem1 46847 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ β„Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž)))
3928, 35, 38syl2an 595 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž)))
40 prmdvdsfmtnof1lem2 46848 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ β„™ ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) βˆ₯ β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4139, 40syld 47 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ (inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑝 βˆ₯ β„Ž}, ℝ, < ) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4218, 41sylbid 239 . . 3 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ β„Ž ∈ ran FermatNo) β†’ ((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž))
4342rgen2 3192 . 2 βˆ€π‘” ∈ ran FermatNoβˆ€β„Ž ∈ ran FermatNo((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)
44 dff13 7259 . 2 (𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™ ↔ (𝐹:ran FermatNoβŸΆβ„™ ∧ βˆ€π‘” ∈ ran FermatNoβˆ€β„Ž ∈ ran FermatNo((πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜β„Ž) β†’ 𝑔 = β„Ž)))
452, 43, 44mpbir2an 710 1 𝐹:ran FermatNo–1-1β†’β„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Or wor 5583  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€˜cfv 6542  infcinf 9456  β„cr 11129   < clt 11270  2c2 12289  3c3 12290  β„•0cn0 12494  β„€β‰₯cuz 12844   βˆ₯ cdvds 16222  β„™cprime 16633  FermatNocfmtno 46790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-prod 15874  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-fmtno 46791
This theorem is referenced by:  prminf2  46851
  Copyright terms: Public domain W3C validator