Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isisomgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isisomgr 46427
Description: Implications of two graphs being isomorphic. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomgr.i 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
isomgr.j 𝐽 = (iEdg‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
isisomgr (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼𝑖)) = (𝐽‘(𝑔𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,𝑖   𝐵,𝑓,𝑔,𝑖   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑔)   𝐽(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem isisomgr
StepHypRef Expression
1 isomgrrel 46425 . . . 4 Rel IsomGr
21brrelex12i 5729 . . 3 (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 isomgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
4 isomgr.w . . . 4 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
5 isomgr.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
6 isomgr.j . . . 4 𝐽 = (iEdg‘𝐵)
73, 4, 5, 6isomgr 46426 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼𝑖)) = (𝐽‘(𝑔𝑖))))))
82, 7syl 17 . 2 (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼𝑖)) = (𝐽‘(𝑔𝑖))))))
98ibi 267 1 (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼𝑖)) = (𝐽‘(𝑔𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  cima 5678  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  Vtxcvtx 28236  iEdgciedg 28237   IsomGr cisomgr 46422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isomgr 46424
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator