Theorem isisomgr 43382

Description: Implications of two graphs being isomorphic. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomgr.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
isomgr.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isisomgr	⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,𝑖   𝐵,𝑓,𝑔,𝑖   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑔)   𝐽(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem isisomgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomgrrel 43380	. . . 4 ⊢ Rel IsomGr
2	1	brrelex12i 5453	. . 3 ⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		isomgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
4		isomgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
5		isomgr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
6		isomgr.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐵)
7	3, 4, 5, 6	isomgr 43381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖))))))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖))))))
9	8	ibi 259	1 ⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507  ∃wex 1742   ∈ wcel 2050  ∀wral 3082  Vcvv 3409   class class class wbr 4925  dom cdm 5403   “ cima 5406  –1-1-onto→wf1o 6184  ‘cfv 6185  Vtxcvtx 26496  iEdgciedg 26497   IsomGr cisomgr 43377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pr 5182

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isomgr 43379

This theorem is referenced by: (None)