Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isisomgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isisomgr 46102
Description: Implications of two graphs being isomorphic. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomgr.i 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
isomgr.j 𝐽 = (iEdg‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
isisomgr (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼𝑖)) = (𝐽‘(𝑔𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,𝑖   𝐵,𝑓,𝑔,𝑖   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑔)   𝐽(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem isisomgr
StepHypRef Expression
1 isomgrrel 46100 . . . 4 Rel IsomGr
21brrelex12i 5688 . . 3 (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 isomgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
4 isomgr.w . . . 4 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
5 isomgr.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
6 isomgr.j . . . 4 𝐽 = (iEdg‘𝐵)
73, 4, 5, 6isomgr 46101 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼𝑖)) = (𝐽‘(𝑔𝑖))))))
82, 7syl 17 . 2 (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼𝑖)) = (𝐽‘(𝑔𝑖))))))
98ibi 267 1 (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼𝑖)) = (𝐽‘(𝑔𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3444   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  cima 5637  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990   IsomGr cisomgr 46097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isomgr 46099
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator