Theorem isisomgr 45276

Description: Implications of two graphs being isomorphic. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomgr.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
isomgr.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isisomgr	⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,𝑖   𝐵,𝑓,𝑔,𝑖   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑔)   𝐽(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem isisomgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomgrrel 45274	. . . 4 ⊢ Rel IsomGr
2	1	brrelex12i 5642	. . 3 ⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		isomgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
4		isomgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
5		isomgr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
6		isomgr.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐵)
7	3, 4, 5, 6	isomgr 45275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖))))))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖))))))
9	8	ibi 266	1 ⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   “ cima 5592  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367   IsomGr cisomgr 45271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isomgr 45273

This theorem is referenced by: (None)