Theorem isisomgr 46427

Description: Implications of two graphs being isomorphic. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isomgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomgr.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
isomgr.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
isisomgr	⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,𝑖   𝐵,𝑓,𝑔,𝑖   𝑖,𝐼

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑔)   𝐽(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑉(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem isisomgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isomgrrel 46425	. . . 4 ⊢ Rel IsomGr
2	1	brrelex12i 5729	. . 3 ⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		isomgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
4		isomgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
5		isomgr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐴)
6		isomgr.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐵)
7	3, 4, 5, 6	isomgr 46426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖))))))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖))))))
9	8	ibi 267	1 ⊢ (𝐴 IsomGr 𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:dom 𝐼–1-1-onto→dom 𝐽 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑓 “ (𝐼‘𝑖)) = (𝐽‘(𝑔‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   “ cima 5678  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  Vtxcvtx 28236  iEdgciedg 28237   IsomGr cisomgr 46422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isomgr 46424

This theorem is referenced by: (None)