Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fvexd 6900 |
. . . 4
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (Vtxāšµ) ā V) |
2 | 1 | resiexd 7213 |
. . 3
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā ( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā V) |
3 | | f1oi 6865 |
. . . . 5
⢠( I
ā¾ (Vtxāšµ)):(Vtxāšµ)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ) |
4 | | simprl 768 |
. . . . . 6
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (Vtxāš“) = (Vtxāšµ)) |
5 | 4 | f1oeq2d 6823 |
. . . . 5
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (( I ā¾ (Vtxāšµ)):(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ) ā ( I ā¾ (Vtxāšµ)):(Vtxāšµ)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ))) |
6 | 3, 5 | mpbiri 258 |
. . . 4
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā ( I ā¾ (Vtxāšµ)):(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ)) |
7 | | fvexd 6900 |
. . . . . . 7
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (iEdgāšµ) ā V) |
8 | 7 | dmexd 7893 |
. . . . . 6
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā dom (iEdgāšµ) ā V) |
9 | 8 | resiexd 7213 |
. . . . 5
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā ( I ā¾ dom (iEdgāšµ)) ā V) |
10 | | f1oi 6865 |
. . . . . . 7
⢠( I
ā¾ dom (iEdgāšµ)):dom (iEdgāšµ)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) |
11 | | simprr 770 |
. . . . . . . . 9
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (iEdgāš“) = (iEdgāšµ)) |
12 | 11 | dmeqd 5899 |
. . . . . . . 8
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā dom (iEdgāš“) = dom (iEdgāšµ)) |
13 | 12 | f1oeq2d 6823 |
. . . . . . 7
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (( I ā¾ dom
(iEdgāšµ)):dom
(iEdgāš“)ā1-1-ontoādom (iEdgāšµ) ā ( I ā¾ dom (iEdgāšµ)):dom (iEdgāšµ)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ))) |
14 | 10, 13 | mpbiri 258 |
. . . . . 6
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā ( I ā¾ dom (iEdgāšµ)):dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ)) |
15 | | eqid 2726 |
. . . . . . . . . . . 12
ā¢
(Vtxāš“) =
(Vtxāš“) |
16 | | eqid 2726 |
. . . . . . . . . . . 12
ā¢
(iEdgāš“) =
(iEdgāš“) |
17 | 15, 16 | uhgrss 28832 |
. . . . . . . . . . 11
⢠((š“ ā UHGraph ā§ š ā dom (iEdgāš“)) ā ((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāš“)) |
18 | 17 | ad4ant14 749 |
. . . . . . . . . 10
⢠((((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā§ š ā dom (iEdgāš“)) ā ((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāš“)) |
19 | | sseq2 4003 |
. . . . . . . . . . . . 13
ā¢
((Vtxāš“) =
(Vtxāšµ) ā
(((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāš“) ā ((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāšµ))) |
20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
ā¢
(((Vtxāš“) =
(Vtxāšµ) ā§
(iEdgāš“) =
(iEdgāšµ)) ā
(((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāš“) ā ((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāšµ))) |
21 | 20 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāš“) ā ((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāšµ))) |
22 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⢠((((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā§ š ā dom (iEdgāš“)) ā (((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāš“) ā ((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāšµ))) |
23 | 18, 22 | mpbid 231 |
. . . . . . . . 9
⢠((((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā§ š ā dom (iEdgāš“)) ā ((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāšµ)) |
24 | | resiima 6069 |
. . . . . . . . 9
ā¢
(((iEdgāš“)āš) ā (Vtxāšµ) ā (( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāš“)āš)) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⢠((((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā§ š ā dom (iEdgāš“)) ā (( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāš“)āš)) |
26 | | fvresi 7167 |
. . . . . . . . . 10
⢠(š ā dom (iEdgāš“) ā (( I ā¾ dom
(iEdgāš“))āš) = š) |
27 | 26 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⢠((((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā§ š ā dom (iEdgāš“)) ā (( I ā¾ dom (iEdgāš“))āš) = š) |
28 | 27 | fveq2d 6889 |
. . . . . . . 8
⢠((((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā§ š ā dom (iEdgāš“)) ā ((iEdgāš“)ā(( I ā¾ dom (iEdgāš“))āš)) = ((iEdgāš“)āš)) |
29 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
ā¢
((iEdgāš“) =
(iEdgāšµ) ā
(iEdgāš“) =
(iEdgāšµ)) |
30 | | dmeq 5897 |
. . . . . . . . . . . . . 14
ā¢
((iEdgāš“) =
(iEdgāšµ) ā dom
(iEdgāš“) = dom
(iEdgāšµ)) |
31 | 30 | reseq2d 5975 |
. . . . . . . . . . . . 13
ā¢
((iEdgāš“) =
(iEdgāšµ) ā ( I
ā¾ dom (iEdgāš“))
= ( I ā¾ dom (iEdgāšµ))) |
32 | 31 | fveq1d 6887 |
. . . . . . . . . . . 12
ā¢
((iEdgāš“) =
(iEdgāšµ) ā (( I
ā¾ dom (iEdgāš“))āš) = (( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš)) |
33 | 29, 32 | fveq12d 6892 |
. . . . . . . . . . 11
ā¢
((iEdgāš“) =
(iEdgāšµ) ā
((iEdgāš“)ā(( I
ā¾ dom (iEdgāš“))āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš))) |
34 | 33 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
ā¢
(((Vtxāš“) =
(Vtxāšµ) ā§
(iEdgāš“) =
(iEdgāšµ)) ā
((iEdgāš“)ā(( I
ā¾ dom (iEdgāš“))āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš))) |
35 | 34 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā ((iEdgāš“)ā(( I ā¾ dom (iEdgāš“))āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš))) |
36 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⢠((((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā§ š ā dom (iEdgāš“)) ā ((iEdgāš“)ā(( I ā¾ dom (iEdgāš“))āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš))) |
37 | 25, 28, 36 | 3eqtr2d 2772 |
. . . . . . 7
⢠((((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā§ š ā dom (iEdgāš“)) ā (( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš))) |
38 | 37 | ralrimiva 3140 |
. . . . . 6
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā āš ā dom (iEdgāš“)(( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš))) |
39 | 14, 38 | jca 511 |
. . . . 5
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (( I ā¾ dom
(iEdgāšµ)):dom
(iEdgāš“)ā1-1-ontoādom (iEdgāšµ) ā§ āš ā dom (iEdgāš“)(( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš)))) |
40 | | f1oeq1 6815 |
. . . . . 6
⢠(š = ( I ā¾ dom
(iEdgāšµ)) ā
(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā ( I
ā¾ dom (iEdgāšµ)):dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ))) |
41 | | fveq1 6884 |
. . . . . . . . 9
⢠(š = ( I ā¾ dom
(iEdgāšµ)) ā
(šāš) = (( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš)) |
42 | 41 | fveq2d 6889 |
. . . . . . . 8
⢠(š = ( I ā¾ dom
(iEdgāšµ)) ā
((iEdgāšµ)ā(šāš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš))) |
43 | 42 | eqeq2d 2737 |
. . . . . . 7
⢠(š = ( I ā¾ dom
(iEdgāšµ)) ā (((
I ā¾ (Vtxāšµ))
ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)) ā (( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš)))) |
44 | 43 | ralbidv 3171 |
. . . . . 6
⢠(š = ( I ā¾ dom
(iEdgāšµ)) ā
(āš ā dom
(iEdgāš“)(( I ā¾
(Vtxāšµ)) ā
((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)) ā āš ā dom (iEdgāš“)(( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom (iEdgāšµ))āš)))) |
45 | 40, 44 | anbi12d 630 |
. . . . 5
⢠(š = ( I ā¾ dom
(iEdgāšµ)) ā
((š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(( I ā¾
(Vtxāšµ)) ā
((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš))) ā (( I ā¾ dom (iEdgāšµ)):dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(( I ā¾
(Vtxāšµ)) ā
((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(( I ā¾ dom
(iEdgāšµ))āš))))) |
46 | 9, 39, 45 | spcedv 3582 |
. . . 4
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā āš(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(( I ā¾
(Vtxāšµ)) ā
((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)))) |
47 | 6, 46 | jca 511 |
. . 3
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (( I ā¾ (Vtxāšµ)):(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ) ā§ āš(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(( I ā¾
(Vtxāšµ)) ā
((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš))))) |
48 | | f1oeq1 6815 |
. . . 4
⢠(š = ( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā (š:(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ) ā ( I ā¾ (Vtxāšµ)):(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ))) |
49 | | imaeq1 6048 |
. . . . . . . 8
⢠(š = ( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā (š ā ((iEdgāš“)āš)) = (( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš))) |
50 | 49 | eqeq1d 2728 |
. . . . . . 7
⢠(š = ( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((š ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)) ā (( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)))) |
51 | 50 | ralbidv 3171 |
. . . . . 6
⢠(š = ( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā (āš ā dom (iEdgāš“)(š ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)) ā āš ā dom (iEdgāš“)(( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)))) |
52 | 51 | anbi2d 628 |
. . . . 5
⢠(š = ( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(š ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš))) ā (š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(( I ā¾
(Vtxāšµ)) ā
((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš))))) |
53 | 52 | exbidv 1916 |
. . . 4
⢠(š = ( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā (āš(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(š ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš))) ā āš(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(( I ā¾
(Vtxāšµ)) ā
((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš))))) |
54 | 48, 53 | anbi12d 630 |
. . 3
⢠(š = ( I ā¾ (Vtxāšµ)) ā ((š:(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ) ā§ āš(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(š ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)))) ā (( I ā¾ (Vtxāšµ)):(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ) ā§ āš(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(( I ā¾
(Vtxāšµ)) ā
((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)))))) |
55 | 2, 47, 54 | spcedv 3582 |
. 2
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā āš(š:(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ) ā§ āš(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(š ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš))))) |
56 | | eqid 2726 |
. . . 4
ā¢
(Vtxāšµ) =
(Vtxāšµ) |
57 | | eqid 2726 |
. . . 4
ā¢
(iEdgāšµ) =
(iEdgāšµ) |
58 | 15, 56, 16, 57 | isomgr 47068 |
. . 3
⢠((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā (š“ IsomGr šµ ā āš(š:(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ) ā§ āš(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(š ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)))))) |
59 | 58 | adantr 480 |
. 2
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā (š“ IsomGr šµ ā āš(š:(Vtxāš“)ā1-1-ontoā(Vtxāšµ) ā§ āš(š:dom (iEdgāš“)ā1-1-ontoādom
(iEdgāšµ) ā§
āš ā dom
(iEdgāš“)(š ā ((iEdgāš“)āš)) = ((iEdgāšµ)ā(šāš)))))) |
60 | 55, 59 | mpbird 257 |
1
⢠(((š“ ā UHGraph ā§ šµ ā š) ā§ ((Vtxāš“) = (Vtxāšµ) ā§ (iEdgāš“) = (iEdgāšµ))) ā š“ IsomGr šµ) |