Theorem islln4 39545

Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
llnset.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnset.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln4	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑝)   𝐶(𝑝)   𝐷(𝑝)   𝑁(𝑝)

Proof of Theorem islln4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llnset.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		llnset.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		llnset.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		llnset.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islln 39544	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋)))
6	5	baibd 539	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  Basecbs 17117   ⋖ ccvr 39300  Atomscatm 39301  LLinesclln 39529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-llines 39536

This theorem is referenced by:  islln3  39548  llncmp  39560