Theorem islln4 37166

Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
llnset.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnset.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln4	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑝)   𝐶(𝑝)   𝐷(𝑝)   𝑁(𝑝)

Proof of Theorem islln4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llnset.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		llnset.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		llnset.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		llnset.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islln 37165	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋)))
6	5	baibd 543	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3054   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  Basecbs 16588   ⋖ ccvr 36921  Atomscatm 36922  LLinesclln 37150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fv 6347  df-llines 37157

This theorem is referenced by:  islln3  37169  llncmp  37181