Theorem llni 38873

Description: Condition implying a lattice line. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
llnset.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnset.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llni	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem llni

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1189	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		breq1 5142	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝐶𝑋 ↔ 𝑃𝐶𝑋))
3	2	rspcev 3604	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃𝐶𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋)
4	3	3ad2antl3 1184	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃𝐶𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋)
5		simpl1 1188	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ 𝐷)
6		llnset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		llnset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		llnset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		llnset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	islln 38871	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋)))
11	5, 10	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃𝐶𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋)))
12	1, 4, 11	mpbir2and 710	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  Basecbs 17145   ⋖ ccvr 38626  Atomscatm 38627  LLinesclln 38856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-llines 38863

This theorem is referenced by:  llnle  38883  atcvrlln  38885  lplncvrlvol  38981