Theorem islln3 40325

Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islln3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islln3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islln3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln3.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞, 𝑝)   𝑁(𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem islln3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islln3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		islln3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		islln3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islln4 40322	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7	1, 3	atbase 40104	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
9		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		islln3.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	1, 10, 11, 2, 3	cvrval3 40228	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
13	6, 8, 9, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
14		hlatl 40175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15	14	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
17		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
18	10, 3	atncmp 40127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
20		necom 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞)
21	19, 20	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
22		eqcom 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
24	21, 23	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
25	24	rexbidva 3190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
26	13, 25	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
27	26	rexbidva 3190	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
28	5, 27	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  lecple 17342  joincjn 18392   ⋖ ccvr 40077  Atomscatm 40078  AtLatcal 40079  HLchlt 40165  LLinesclln 40306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-lat 18513  df-clat 18580  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-llines 40313

This theorem is used by:  islln2  40326  llni2  40327  atcvrlln2  40334  atcvrlln  40335  llnexchb2  40684