Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln3 38002
Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
islln3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islln3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islln3.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islln3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐡,𝑝,π‘ž   𝐾,𝑝,π‘ž   𝑋,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   𝑁(π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem islln3
StepHypRef Expression
1 islln3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2737 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
3 islln3.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 islln3.n . . 3 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4islln4 37999 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
6 simpll 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
71, 3atbase 37780 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
87adantl 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
9 simplr 768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 eqid 2737 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
11 islln3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
121, 10, 11, 2, 3cvrval3 37905 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋)))
136, 8, 9, 12syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋)))
14 hlatl 37851 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1514ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
16 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
17 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
1810, 3atncmp 37803 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ π‘ž β‰  𝑝))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ π‘ž β‰  𝑝))
20 necom 2998 . . . . . . 7 (π‘ž β‰  𝑝 ↔ 𝑝 β‰  π‘ž)
2119, 20bitrdi 287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ 𝑝 β‰  π‘ž))
22 eqcom 2744 . . . . . . 7 ((𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))
2322a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž)))
2421, 23anbi12d 632 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
2524rexbidva 3174 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
2613, 25bitrd 279 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
2726rexbidva 3174 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
285, 27bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207   β‹– ccvr 37753  Atomscatm 37754  AtLatcal 37755  HLchlt 37841  LLinesclln 37983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990
This theorem is referenced by:  islln2  38003  llni2  38004  atcvrlln2  38011  atcvrlln  38012  llnexchb2  38361
  Copyright terms: Public domain W3C validator