Theorem islln3 37524

Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islln3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islln3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islln3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln3.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islln3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islln3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		islln3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		islln3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islln4 37521	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7	1, 3	atbase 37303	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
9		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		islln3.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	1, 10, 11, 2, 3	cvrval3 37427	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
13	6, 8, 9, 12	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
14		hlatl 37374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15	14	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
17		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
18	10, 3	atncmp 37326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
20		necom 2997	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞)
21	19, 20	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
22		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
24	21, 23	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
25	24	rexbidva 3225	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
26	13, 25	bitrd 278	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
27	26	rexbidva 3225	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
28	5, 27	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  joincjn 18029   ⋖ ccvr 37276  Atomscatm 37277  AtLatcal 37278  HLchlt 37364  LLinesclln 37505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512

This theorem is referenced by:  islln2  37525  llni2  37526  atcvrlln2  37533  atcvrlln  37534  llnexchb2  37883