Theorem islln3 39489

Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islln3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islln3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islln3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln3.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islln3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islln3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		islln3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		islln3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islln4 39486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7	1, 3	atbase 39267	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
9		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		islln3.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	1, 10, 11, 2, 3	cvrval3 39392	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
13	6, 8, 9, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
14		hlatl 39338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15	14	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
17		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
18	10, 3	atncmp 39290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
20		necom 2978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞)
21	19, 20	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
22		eqcom 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
24	21, 23	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
25	24	rexbidva 3151	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
26	13, 25	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
27	26	rexbidva 3151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
28	5, 27	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  lecple 17186  joincjn 18235   ⋖ ccvr 39240  Atomscatm 39241  AtLatcal 39242  HLchlt 39328  LLinesclln 39470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39154  df-ol 39156  df-oml 39157  df-covers 39244  df-ats 39245  df-atl 39276  df-cvlat 39300  df-hlat 39329  df-llines 39477

This theorem is referenced by:  islln2  39490  llni2  39491  atcvrlln2  39498  atcvrlln  39499  llnexchb2  39848