Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln3 37079
 Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
islln3.j = (join‘𝐾)
islln3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln3.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islln3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islln3
StepHypRef Expression
1 islln3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2759 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 islln3.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 islln3.n . . 3 𝑁 = (LLines‘𝐾)
51, 2, 3, 4islln4 37076 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6 simpll 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
71, 3atbase 36858 . . . . . 6 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
87adantl 486 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
9 simplr 769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
10 eqid 2759 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11 islln3.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
121, 10, 11, 2, 3cvrval3 36982 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐵𝑋𝐵) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 𝑞) = 𝑋)))
136, 8, 9, 12syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 𝑞) = 𝑋)))
14 hlatl 36929 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1514ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16 simpr 489 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
17 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑝𝐴)
1810, 3atncmp 36881 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑝𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝𝑞𝑝))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝𝑞𝑝))
20 necom 3005 . . . . . . 7 (𝑞𝑝𝑝𝑞)
2119, 20syl6bb 291 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝𝑝𝑞))
22 eqcom 2766 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑝 𝑞))
2322a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑝 𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑝 𝑞)))
2421, 23anbi12d 634 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
2524rexbidva 3221 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
2613, 25bitrd 282 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
2726rexbidva 3221 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
285, 27bitrd 282 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∃wrex 3072   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  lecple 16623  joincjn 17613   ⋖ ccvr 36831  Atomscatm 36832  AtLatcal 36833  HLchlt 36919  LLinesclln 37060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-proset 17597  df-poset 17615  df-plt 17627  df-lub 17643  df-glb 17644  df-join 17645  df-meet 17646  df-p0 17708  df-lat 17715  df-clat 17777  df-oposet 36745  df-ol 36747  df-oml 36748  df-covers 36835  df-ats 36836  df-atl 36867  df-cvlat 36891  df-hlat 36920  df-llines 37067 This theorem is referenced by:  islln2  37080  llni2  37081  atcvrlln2  37088  atcvrlln  37089  llnexchb2  37438
 Copyright terms: Public domain W3C validator