Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islln3 38983
Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
islln3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islln3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islln3.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islln3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐡,𝑝,π‘ž   𝐾,𝑝,π‘ž   𝑋,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   𝑁(π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem islln3
StepHypRef Expression
1 islln3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
3 islln3.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 islln3.n . . 3 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4islln4 38980 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
6 simpll 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
71, 3atbase 38761 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
87adantl 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
9 simplr 768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 eqid 2728 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
11 islln3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
121, 10, 11, 2, 3cvrval3 38886 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋)))
136, 8, 9, 12syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋)))
14 hlatl 38832 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1514ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
17 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
1810, 3atncmp 38784 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ π‘ž β‰  𝑝))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ π‘ž β‰  𝑝))
20 necom 2991 . . . . . . 7 (π‘ž β‰  𝑝 ↔ 𝑝 β‰  π‘ž)
2119, 20bitrdi 287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ 𝑝 β‰  π‘ž))
22 eqcom 2735 . . . . . . 7 ((𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))
2322a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž)))
2421, 23anbi12d 631 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
2524rexbidva 3173 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)𝑝 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
2613, 25bitrd 279 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
2726rexbidva 3173 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
285, 27bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  joincjn 18303   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735  AtLatcal 38736  HLchlt 38822  LLinesclln 38964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971
This theorem is referenced by:  islln2  38984  llni2  38985  atcvrlln2  38992  atcvrlln  38993  llnexchb2  39342
  Copyright terms: Public domain W3C validator