Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | islln3.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | eqid 2737 |
. . 3
β’ ( β
βπΎ) = ( β
βπΎ) |
3 | | islln3.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | | islln3.n |
. . 3
β’ π = (LLinesβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | islln4 37999 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅) β (π β π β βπ β π΄ π( β βπΎ)π)) |
6 | | simpll 766 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
7 | 1, 3 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
8 | 7 | adantl 483 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π β π΅) |
9 | | simplr 768 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π β π΅) |
10 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
11 | | islln3.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | 1, 10, 11, 2, 3 | cvrval3 37905 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π( β βπΎ)π β βπ β π΄ (Β¬ π(leβπΎ)π β§ (π β¨ π) = π))) |
13 | 6, 8, 9, 12 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (π( β βπΎ)π β βπ β π΄ (Β¬ π(leβπΎ)π β§ (π β¨ π) = π))) |
14 | | hlatl 37851 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
15 | 14 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ π β π΄) β πΎ β AtLat) |
16 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ π β π΄) β π β π΄) |
17 | | simplr 768 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ π β π΄) β π β π΄) |
18 | 10, 3 | atncmp 37803 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (Β¬ π(leβπΎ)π β π β π)) |
19 | 15, 16, 17, 18 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ π β π΄) β (Β¬ π(leβπΎ)π β π β π)) |
20 | | necom 2998 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β π β π) |
21 | 19, 20 | bitrdi 287 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ π β π΄) β (Β¬ π(leβπΎ)π β π β π)) |
22 | | eqcom 2744 |
. . . . . . 7
β’ ((π β¨ π) = π β π = (π β¨ π)) |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ π β π΄) β ((π β¨ π) = π β π = (π β¨ π))) |
24 | 21, 23 | anbi12d 632 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β§ π β π΄) β ((Β¬ π(leβπΎ)π β§ (π β¨ π) = π) β (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
25 | 24 | rexbidva 3174 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (βπ β π΄ (Β¬ π(leβπΎ)π β§ (π β¨ π) = π) β βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
26 | 13, 25 | bitrd 279 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (π( β βπΎ)π β βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
27 | 26 | rexbidva 3174 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅) β (βπ β π΄ π( β βπΎ)π β βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
28 | 5, 27 | bitrd 279 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅) β (π β π β βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |