Theorem islpln 40345

Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplnset.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln	⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑃(𝑦)

Proof of Theorem islpln

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lplnset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lplnset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4		lplnset.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lplnset 40344	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥})
6	5	eleq2d 2852	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥}))
7		breq2 5118	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦𝐶𝑥 ↔ 𝑦𝐶𝑋))
8	7	rexbidv 3192	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋))
9	8	elrab 3653	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋))
10	6, 9	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  {crab 3419   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  Basecbs 17294   ⋖ ccvr 40077  LLinesclln 40306  LPlanesclpl 40307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-lplanes 40314

This theorem is used by:  islpln4  40346  lplni  40347  lplnbase  40349  lplnnle2at  40356