Theorem islpln 38905

Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplnset.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln	⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑃(𝑦)

Proof of Theorem islpln

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lplnset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lplnset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4		lplnset.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lplnset 38904	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥})
6	5	eleq2d 2811	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥}))
7		breq2 5143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦𝐶𝑥 ↔ 𝑦𝐶𝑋))
8	7	rexbidv 3170	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋))
9	8	elrab 3676	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋))
10	6, 9	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  {crab 3424   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  Basecbs 17149   ⋖ ccvr 38636  LLinesclln 38866  LPlanesclpl 38867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-lplanes 38874

This theorem is referenced by:  islpln4  38906  lplni  38907  lplnbase  38909  lplnnle2at  38916