Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpln 39513
Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnset.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnset.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplnset.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnset.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islpln (𝐾𝐴 → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑦𝑁 𝑦𝐶𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑃(𝑦)

Proof of Theorem islpln
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lplnset.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lplnset.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3 lplnset.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4 lplnset.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
51, 2, 3, 4lplnset 39512 . . 3 (𝐾𝐴𝑃 = {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑦𝑁 𝑦𝐶𝑥})
65eleq2d 2825 . 2 (𝐾𝐴 → (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑦𝑁 𝑦𝐶𝑥}))
7 breq2 5152 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦𝐶𝑥𝑦𝐶𝑋))
87rexbidv 3177 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦𝑁 𝑦𝐶𝑥 ↔ ∃𝑦𝑁 𝑦𝐶𝑋))
98elrab 3695 . 2 (𝑋 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑦𝑁 𝑦𝐶𝑥} ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑦𝑁 𝑦𝐶𝑋))
106, 9bitrdi 287 1 (𝐾𝐴 → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑦𝑁 𝑦𝐶𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  ccvr 39244  LLinesclln 39474  LPlanesclpl 39475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-lplanes 39482
This theorem is referenced by:  islpln4  39514  lplni  39515  lplnbase  39517  lplnnle2at  39524
  Copyright terms: Public domain W3C validator