Theorem islpln 37544

Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplnset.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln	⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑃(𝑦)

Proof of Theorem islpln

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lplnset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lplnset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4		lplnset.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lplnset 37543	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥})
6	5	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥}))
7		breq2 5078	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦𝐶𝑥 ↔ 𝑦𝐶𝑋))
8	7	rexbidv 3226	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋))
9	8	elrab 3624	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋))
10	6, 9	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {crab 3068   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912   ⋖ ccvr 37276  LLinesclln 37505  LPlanesclpl 37506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-lplanes 37513

This theorem is referenced by:  islpln4  37545  lplni  37546  lplnbase  37548  lplnnle2at  37555