Theorem islpln 40681

Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplnset.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln	⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑃(𝑦)

Proof of Theorem islpln

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lplnset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lplnset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4		lplnset.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lplnset 40680	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥})
6	5	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥}))
7		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦𝐶𝑥 ↔ 𝑦𝐶𝑋))
8	7	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋))
9	8	elrab 3644	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑥} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋))
10	6, 9	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦𝐶𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  Basecbs 17393   ⋖ ccvr 40413  LLinesclln 40642  LPlanesclpl 40643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-lplanes 40650

This theorem is used by:  islpln4  40682  lplni  40683  lplnbase  40685  lplnnle2at  40692