Theorem lplni 40024

Description: Condition implying a lattice plane. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplnset.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplni	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lplni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1199	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
2		breq1 5075	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶𝑌))
3	2	rspcev 3560	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑥𝐶𝑌)
4	3	3ad2antl3 1194	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑥𝐶𝑌)
5		simpl1 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐷)
6		lplnset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		lplnset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		lplnset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9		lplnset.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	islpln 40022	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑥𝐶𝑌)))
11	5, 10	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑥𝐶𝑌)))
12	1, 4, 11	mpbir2and 719	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  Basecbs 17170   ⋖ ccvr 39754  LLinesclln 39983  LPlanesclpl 39984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-lplanes 39991

This theorem is referenced by:  lplnle  40032  llncvrlpln  40050  lplnexllnN  40056