Theorem lplni 40408

Description: Condition implying a lattice plane. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplnset.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplni	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lplni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
2		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶𝑌))
3	2	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑥𝐶𝑌)
4	3	3ad2antl3 1206	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑥𝐶𝑌)
5		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐷)
6		lplnset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		lplnset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		lplnset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9		lplnset.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	islpln 40406	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑥𝐶𝑌)))
11	5, 10	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑁 𝑥𝐶𝑌)))
12	1, 4, 11	mpbir2and 726	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17304   ⋖ ccvr 40138  LLinesclln 40367  LPlanesclpl 40368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-lplanes 40375

This theorem is used by:  lplnle  40416  llncvrlpln  40434  lplnexllnN  40440