Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplni Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lplni 39005
Description: Condition implying a lattice plane. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnset.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lplnset.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lplnset.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
lplnset.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplni (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
Proof of Theorem lplni
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1190 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2 breq1 5151 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯πΆπ‘Œ ↔ π‘‹πΆπ‘Œ))
32rspcev 3609 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑁 π‘₯πΆπ‘Œ)
433ad2antl3 1185 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑁 π‘₯πΆπ‘Œ)
5 simpl1 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
6 lplnset.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 lplnset.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
8 lplnset.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
9 lplnset.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
106, 7, 8, 9islpln 39003 . . 3 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑁 π‘₯πΆπ‘Œ)))
115, 10syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑁 π‘₯πΆπ‘Œ)))
121, 4, 11mpbir2and 712 1 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180   β‹– ccvr 38734  LLinesclln 38964  LPlanesclpl 38965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-lplanes 38972
This theorem is referenced by:  lplnle  39013  llncvrlpln  39031  lplnexllnN  39037
  Copyright terms: Public domain W3C validator