Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplni 39135
Description: Condition implying a lattice plane. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnset.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnset.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplnset.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnset.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplni (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑃)

Proof of Theorem lplni
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1189 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝐵)
2 breq1 5152 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌))
32rspcev 3606 . . 3 ((𝑋𝑁𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥𝑁 𝑥𝐶𝑌)
433ad2antl3 1184 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥𝑁 𝑥𝐶𝑌)
5 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾𝐷)
6 lplnset.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 lplnset.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8 lplnset.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9 lplnset.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
106, 7, 8, 9islpln 39133 . . 3 (𝐾𝐷 → (𝑌𝑃 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑥𝑁 𝑥𝐶𝑌)))
115, 10syl 17 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑃 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑥𝑁 𝑥𝐶𝑌)))
121, 4, 11mpbir2and 711 1 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059   class class class wbr 5149  cfv 6549  Basecbs 17183  ccvr 38864  LLinesclln 39094  LPlanesclpl 39095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-lplanes 39102
This theorem is referenced by:  lplnle  39143  llncvrlpln  39161  lplnexllnN  39167
  Copyright terms: Public domain W3C validator