Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplni 38024
Description: Condition implying a lattice plane. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnset.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lplnset.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lplnset.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
lplnset.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplni (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lplni
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2 breq1 5113 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯πΆπ‘Œ ↔ π‘‹πΆπ‘Œ))
32rspcev 3584 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑁 π‘₯πΆπ‘Œ)
433ad2antl3 1188 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑁 π‘₯πΆπ‘Œ)
5 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
6 lplnset.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 lplnset.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
8 lplnset.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
9 lplnset.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
106, 7, 8, 9islpln 38022 . . 3 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑁 π‘₯πΆπ‘Œ)))
115, 10syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑁 π‘₯πΆπ‘Œ)))
121, 4, 11mpbir2and 712 1 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090   β‹– ccvr 37753  LLinesclln 37983  LPlanesclpl 37984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-lplanes 37991
This theorem is referenced by:  lplnle  38032  llncvrlpln  38050  lplnexllnN  38056
  Copyright terms: Public domain W3C validator