Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnbase 39536
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnbase.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnbase (𝑋𝑃𝑋𝐵)

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4340 . . . 4 (𝑋𝑃 → ¬ 𝑃 = ∅)
2 lplnbase.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
32eqeq1i 2742 . . . 4 (𝑃 = ∅ ↔ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 328 . . 3 (𝑋𝑃 → ¬ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6898 . . 3 𝐾 ∈ V → (LPlanes‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 141 . 2 (𝑋𝑃𝐾 ∈ V)
7 lplnbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2737 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2737 . . . 4 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
107, 8, 9, 2islpln 39532 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LLines‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 498 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 688 1 (𝑋𝑃𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  ccvr 39263  LLinesclln 39493  LPlanesclpl 39494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-lplanes 39501
This theorem is referenced by:  islpln2  39538  llnmlplnN  39541  lplnnle2at  39543  lplnneat  39547  lplnnelln  39548  llncvrlpln2  39559  2lplnmN  39561  lplncmp  39564  lplnexatN  39565  lplnexllnN  39566  2llnjaN  39568  islvol3  39578  lvoli3  39579  lvolnle3at  39584  lplncvrlvol2  39617  lplncvrlvol  39618  lvolcmp  39619  2lplnm2N  39623  2lplnmj  39624  dalemyeb  39651  dalem10  39675  dalem16  39681  dalem44  39718  dalem55  39729
  Copyright terms: Public domain W3C validator