Theorem lplnbase 37475

Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnbase.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lplnbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4264	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ 𝑃 = ∅)
2		lplnbase.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2743	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ∅ ↔ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 327	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6748	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LPlanes‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝐾 ∈ V)
7		lplnbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islpln 37471	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LLines‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 684	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840   ⋖ ccvr 37203  LLinesclln 37432  LPlanesclpl 37433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-lplanes 37440

This theorem is referenced by:  islpln2  37477  llnmlplnN  37480  lplnnle2at  37482  lplnneat  37486  lplnnelln  37487  llncvrlpln2  37498  2lplnmN  37500  lplncmp  37503  lplnexatN  37504  lplnexllnN  37505  2llnjaN  37507  islvol3  37517  lvoli3  37518  lvolnle3at  37523  lplncvrlvol2  37556  lplncvrlvol  37557  lvolcmp  37558  2lplnm2N  37562  2lplnmj  37563  dalemyeb  37590  dalem10  37614  dalem16  37620  dalem44  37657  dalem55  37668