Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnbase 36742
 Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnbase.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnbase (𝑋𝑃𝑋𝐵)

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4282 . . . 4 (𝑋𝑃 → ¬ 𝑃 = ∅)
2 lplnbase.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
32eqeq1i 2829 . . . 4 (𝑃 = ∅ ↔ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 331 . . 3 (𝑋𝑃 → ¬ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6652 . . 3 𝐾 ∈ V → (LPlanes‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 143 . 2 (𝑋𝑃𝐾 ∈ V)
7 lplnbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2824 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2824 . . . 4 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
107, 8, 9, 2islpln 36738 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LLines‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 502 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 687 1 (𝑋𝑃𝑋𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134  Vcvv 3480  ∅c0 4276   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  Basecbs 16481   ⋖ ccvr 36470  LLinesclln 36699  LPlanesclpl 36700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fv 6352  df-lplanes 36707 This theorem is referenced by:  islpln2  36744  llnmlplnN  36747  lplnnle2at  36749  lplnneat  36753  lplnnelln  36754  llncvrlpln2  36765  2lplnmN  36767  lplncmp  36770  lplnexatN  36771  lplnexllnN  36772  2llnjaN  36774  islvol3  36784  lvoli3  36785  lvolnle3at  36790  lplncvrlvol2  36823  lplncvrlvol  36824  lvolcmp  36825  2lplnm2N  36829  2lplnmj  36830  dalemyeb  36857  dalem10  36881  dalem16  36887  dalem44  36924  dalem55  36935
 Copyright terms: Public domain W3C validator