Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnbase 38918
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lplnbase.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplnbase (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4328 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ Β¬ 𝑃 = βˆ…)
2 lplnbase.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
32eqeq1i 2731 . . . 4 (𝑃 = βˆ… ↔ (LPlanesβ€˜πΎ) = βˆ…)
41, 3sylnib 328 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ Β¬ (LPlanesβ€˜πΎ) = βˆ…)
5 fvprc 6877 . . 3 (Β¬ 𝐾 ∈ V β†’ (LPlanesβ€˜πΎ) = βˆ…)
64, 5nsyl2 141 . 2 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝐾 ∈ V)
7 lplnbase.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 eqid 2726 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
9 eqid 2726 . . . 4 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
107, 8, 9, 2islpln 38914 . . 3 (𝐾 ∈ V β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)π‘₯( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
1110simprbda 498 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
126, 11mpancom 685 1 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153   β‹– ccvr 38645  LLinesclln 38875  LPlanesclpl 38876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-lplanes 38883
This theorem is referenced by:  islpln2  38920  llnmlplnN  38923  lplnnle2at  38925  lplnneat  38929  lplnnelln  38930  llncvrlpln2  38941  2lplnmN  38943  lplncmp  38946  lplnexatN  38947  lplnexllnN  38948  2llnjaN  38950  islvol3  38960  lvoli3  38961  lvolnle3at  38966  lplncvrlvol2  38999  lplncvrlvol  39000  lvolcmp  39001  2lplnm2N  39005  2lplnmj  39006  dalemyeb  39033  dalem10  39057  dalem16  39063  dalem44  39100  dalem55  39111
  Copyright terms: Public domain W3C validator