Theorem lplnbase 39794

Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnbase.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lplnbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4292	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ 𝑃 = ∅)
2		lplnbase.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2741	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ∅ ↔ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6826	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LPlanes‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝐾 ∈ V)
7		lplnbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islpln 39790	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LLines‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 688	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136   ⋖ ccvr 39522  LLinesclln 39751  LPlanesclpl 39752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-lplanes 39759

This theorem is referenced by:  islpln2  39796  llnmlplnN  39799  lplnnle2at  39801  lplnneat  39805  lplnnelln  39806  llncvrlpln2  39817  2lplnmN  39819  lplncmp  39822  lplnexatN  39823  lplnexllnN  39824  2llnjaN  39826  islvol3  39836  lvoli3  39837  lvolnle3at  39842  lplncvrlvol2  39875  lplncvrlvol  39876  lvolcmp  39877  2lplnm2N  39881  2lplnmj  39882  dalemyeb  39909  dalem10  39933  dalem16  39939  dalem44  39976  dalem55  39987