Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnbase 39047
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lplnbase.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplnbase (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4337 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ Β¬ 𝑃 = βˆ…)
2 lplnbase.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
32eqeq1i 2733 . . . 4 (𝑃 = βˆ… ↔ (LPlanesβ€˜πΎ) = βˆ…)
41, 3sylnib 327 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ Β¬ (LPlanesβ€˜πΎ) = βˆ…)
5 fvprc 6894 . . 3 (Β¬ 𝐾 ∈ V β†’ (LPlanesβ€˜πΎ) = βˆ…)
64, 5nsyl2 141 . 2 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝐾 ∈ V)
7 lplnbase.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 eqid 2728 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
9 eqid 2728 . . . 4 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
107, 8, 9, 2islpln 39043 . . 3 (𝐾 ∈ V β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)π‘₯( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
1110simprbda 497 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
126, 11mpancom 686 1 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17189   β‹– ccvr 38774  LLinesclln 39004  LPlanesclpl 39005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-lplanes 39012
This theorem is referenced by:  islpln2  39049  llnmlplnN  39052  lplnnle2at  39054  lplnneat  39058  lplnnelln  39059  llncvrlpln2  39070  2lplnmN  39072  lplncmp  39075  lplnexatN  39076  lplnexllnN  39077  2llnjaN  39079  islvol3  39089  lvoli3  39090  lvolnle3at  39095  lplncvrlvol2  39128  lplncvrlvol  39129  lvolcmp  39130  2lplnm2N  39134  2lplnmj  39135  dalemyeb  39162  dalem10  39186  dalem16  39192  dalem44  39229  dalem55  39240
  Copyright terms: Public domain W3C validator