Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnbase 35693
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnbase.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnbase (𝑋𝑃𝑋𝐵)

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4148 . . . 4 (𝑋𝑃 → ¬ 𝑃 = ∅)
2 lplnbase.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
32eqeq1i 2783 . . . 4 (𝑃 = ∅ ↔ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 320 . . 3 (𝑋𝑃 → ¬ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6441 . . 3 𝐾 ∈ V → (LPlanes‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 145 . 2 (𝑋𝑃𝐾 ∈ V)
7 lplnbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2778 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2778 . . . 4 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
107, 8, 9, 2islpln 35689 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LLines‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 494 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 678 1 (𝑋𝑃𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  Vcvv 3398  c0 4141   class class class wbr 4888  cfv 6137  Basecbs 16259  ccvr 35421  LLinesclln 35650  LPlanesclpl 35651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fv 6145  df-lplanes 35658
This theorem is referenced by:  islpln2  35695  llnmlplnN  35698  lplnnle2at  35700  lplnneat  35704  lplnnelln  35705  llncvrlpln2  35716  2lplnmN  35718  lplncmp  35721  lplnexatN  35722  lplnexllnN  35723  2llnjaN  35725  islvol3  35735  lvoli3  35736  lvolnle3at  35741  lplncvrlvol2  35774  lplncvrlvol  35775  lvolcmp  35776  2lplnm2N  35780  2lplnmj  35781  dalemyeb  35808  dalem10  35832  dalem16  35838  dalem44  35875  dalem55  35886
  Copyright terms: Public domain W3C validator