Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnbase 38405
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lplnbase.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplnbase (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4334 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ Β¬ 𝑃 = βˆ…)
2 lplnbase.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
32eqeq1i 2738 . . . 4 (𝑃 = βˆ… ↔ (LPlanesβ€˜πΎ) = βˆ…)
41, 3sylnib 328 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ Β¬ (LPlanesβ€˜πΎ) = βˆ…)
5 fvprc 6884 . . 3 (Β¬ 𝐾 ∈ V β†’ (LPlanesβ€˜πΎ) = βˆ…)
64, 5nsyl2 141 . 2 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝐾 ∈ V)
7 lplnbase.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 eqid 2733 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
9 eqid 2733 . . . 4 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
107, 8, 9, 2islpln 38401 . . 3 (𝐾 ∈ V β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)π‘₯( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
1110simprbda 500 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
126, 11mpancom 687 1 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144   β‹– ccvr 38132  LLinesclln 38362  LPlanesclpl 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-lplanes 38370
This theorem is referenced by:  islpln2  38407  llnmlplnN  38410  lplnnle2at  38412  lplnneat  38416  lplnnelln  38417  llncvrlpln2  38428  2lplnmN  38430  lplncmp  38433  lplnexatN  38434  lplnexllnN  38435  2llnjaN  38437  islvol3  38447  lvoli3  38448  lvolnle3at  38453  lplncvrlvol2  38486  lplncvrlvol  38487  lvolcmp  38488  2lplnm2N  38492  2lplnmj  38493  dalemyeb  38520  dalem10  38544  dalem16  38550  dalem44  38587  dalem55  38598
  Copyright terms: Public domain W3C validator