Theorem lplnbase 38918

Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnbase.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lplnbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4328	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ 𝑃 = ∅)
2		lplnbase.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2731	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ∅ ↔ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6877	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LPlanes‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝐾 ∈ V)
7		lplnbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islpln 38914	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LLines‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 685	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  Vcvv 3468  ∅c0 4317   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  Basecbs 17153   ⋖ ccvr 38645  LLinesclln 38875  LPlanesclpl 38876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-lplanes 38883

This theorem is referenced by:  islpln2  38920  llnmlplnN  38923  lplnnle2at  38925  lplnneat  38929  lplnnelln  38930  llncvrlpln2  38941  2lplnmN  38943  lplncmp  38946  lplnexatN  38947  lplnexllnN  38948  2llnjaN  38950  islvol3  38960  lvoli3  38961  lvolnle3at  38966  lplncvrlvol2  38999  lplncvrlvol  39000  lvolcmp  39001  2lplnm2N  39005  2lplnmj  39006  dalemyeb  39033  dalem10  39057  dalem16  39063  dalem44  39100  dalem55  39111