Theorem lplnbase 40122

Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnbase.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lplnbase

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4292	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ 𝑃 = ∅)
2		lplnbase.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2766	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ∅ ↔ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 330	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ¬ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6855	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LPlanes‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝐾 ∈ V)
7		lplnbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islpln 40118	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LLines‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 502	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 698	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  Vcvv 3453  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  Basecbs 17228   ⋖ ccvr 39850  LLinesclln 40079  LPlanesclpl 40080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-lplanes 40087

This theorem is referenced by:  islpln2  40124  llnmlplnN  40127  lplnnle2at  40129  lplnneat  40133  lplnnelln  40134  llncvrlpln2  40145  2lplnmN  40147  lplncmp  40150  lplnexatN  40151  lplnexllnN  40152  2llnjaN  40154  islvol3  40164  lvoli3  40165  lvolnle3at  40170  lplncvrlvol2  40203  lplncvrlvol  40204  lvolcmp  40205  2lplnm2N  40209  2lplnmj  40210  dalemyeb  40237  dalem10  40261  dalem16  40267  dalem44  40304  dalem55  40315