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Theorem lplnnle2at 38033
Description: A lattice line (or atom) cannot majorize a lattice plane. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnle2at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lplnnle2at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lplnnle2at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lplnnle2at.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplnnle2at ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))

Proof of Theorem lplnnle2at
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 eqid 2737 . . . . . 6 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
5 lplnnle2at.p . . . . . 6 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
62, 3, 4, 5islpln 38022 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
76adantr 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
81, 7mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
98simprd 497 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
10 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑅))
1110breq2d 5122 . . . . . . . 8 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑋 ≀ (𝑅 ∨ 𝑅)))
1211notbid 318 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑅 ∨ 𝑅)))
13 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simpl3l 1229 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
15 simpl22 1253 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
16 simpl23 1254 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
17 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
18 lplnnle2at.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
19 lplnnle2at.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2018, 19, 4llni2 38004 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
2113, 15, 16, 17, 20syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
22 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
2322, 4llnnlt 38015 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
2413, 14, 21, 23syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ Β¬ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
252, 4llnbase 38001 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2614, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
27 simpl21 1252 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
282, 5lplnbase 38026 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
30 simpl3r 1230 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
312, 22, 3cvrlt 37761 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋)
3213, 26, 29, 30, 31syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋)
33 hlpos 37857 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3413, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
352, 18, 19hlatjcl 37858 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3613, 15, 16, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
37 lplnnle2at.l . . . . . . . . . . 11 ≀ = (leβ€˜πΎ)
382, 37, 22pltletr 18239 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
3934, 26, 29, 36, 38syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
4032, 39mpand 694 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)))
4124, 40mtod 197 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
42 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43 simp3l 1202 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
44 simp23 1209 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
4537, 19, 4llnnleat 38005 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ 𝑅)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ 𝑅)
4743, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
48 simp21 1207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
4948, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
50 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
5142, 47, 49, 50, 31syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋)
52333ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
532, 19atbase 37780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5444, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
552, 37, 22pltletr 18239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑅))
5652, 47, 49, 54, 55syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑅) β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑅))
5751, 56mpand 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑅 β†’ 𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑅))
5837, 22pltle 18229 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑅 β†’ 𝑦 ≀ 𝑅))
5942, 43, 44, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑦(ltβ€˜πΎ)𝑅 β†’ 𝑦 ≀ 𝑅))
6057, 59syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑅 β†’ 𝑦 ≀ 𝑅))
6146, 60mtod 197 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ 𝑅)
6218, 19hlatjidm 37860 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
6342, 44, 62syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
6463breq2d 5122 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑅 ∨ 𝑅) ↔ 𝑋 ≀ 𝑅))
6561, 64mtbird 325 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑅 ∨ 𝑅))
6612, 41, 65pm2.61ne 3031 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
67663exp 1120 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))))
6867exp4a 433 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))))
6968imp 408 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑦 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))))
7069rexlimdv 3151 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (LLinesβ€˜πΎ)𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
719, 70mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  Posetcpo 18203  ltcplt 18204  joincjn 18207   β‹– ccvr 37753  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LLinesclln 37983  LPlanesclpl 37984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991
This theorem is referenced by:  lplnnleat  38034  lplnnlelln  38035  2atnelpln  38036  lvolnle3at  38074
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