Theorem islvol4 35595

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lvolset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolset.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islvol4	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦𝐶𝑋))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem islvol4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvolset.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lvolset.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3		lvolset.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4		lvolset.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islvol 35594	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦𝐶𝑋)))
6	5	baibd 536	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦𝐶𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∃wrex 3090   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  Basecbs 16184   ⋖ ccvr 35283  LPlanesclpl 35513  LVolsclvol 35514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-lvols 35521

This theorem is referenced by:  islvol3  35597  lvolcmp  35638