Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvoli 39555
Description: Condition implying a 3-dim lattice volume. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolset.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolset.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lvolset.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolset.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvoli (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑉)

Proof of Theorem lvoli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝐵)
2 breq1 5144 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌))
32rspcev 3621 . . 3 ((𝑋𝑃𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)
433ad2antl3 1188 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)
5 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾𝐷)
6 lvolset.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 lvolset.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8 lvolset.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9 lvolset.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
106, 7, 8, 9islvol 39553 . . 3 (𝐾𝐷 → (𝑌𝑉 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
115, 10syl 17 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑉 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
121, 4, 11mpbir2and 713 1 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3069   class class class wbr 5141  cfv 6559  Basecbs 17243  ccvr 39241  LPlanesclpl 39472  LVolsclvol 39473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pr 5430
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fv 6567  df-lvols 39480
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  39596
  Copyright terms: Public domain W3C validator