Theorem lvoli 39562

Description: Condition implying a 3-dim lattice volume. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lvolset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolset.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoli	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
2		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶𝑌))
3	2	rspcev 3585	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)
4	3	3ad2antl3 1188	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)
5		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐷)
6		lvolset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		lvolset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		lvolset.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9		lvolset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	islvol 39560	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
11	5, 10	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
12	1, 4, 11	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  Basecbs 17155   ⋖ ccvr 39248  LPlanesclpl 39479  LVolsclvol 39480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-lvols 39487

This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  39603