Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvoli 36871
Description: Condition implying a 3-dim lattice volume. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolset.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolset.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lvolset.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolset.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvoli (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑉)

Proof of Theorem lvoli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1189 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝐵)
2 breq1 5033 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌))
32rspcev 3571 . . 3 ((𝑋𝑃𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)
433ad2antl3 1184 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)
5 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾𝐷)
6 lvolset.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 lvolset.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8 lvolset.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9 lvolset.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
106, 7, 8, 9islvol 36869 . . 3 (𝐾𝐷 → (𝑌𝑉 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
115, 10syl 17 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑉 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
121, 4, 11mpbir2and 712 1 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wrex 3107   class class class wbr 5030  cfv 6324  Basecbs 16475  ccvr 36558  LPlanesclpl 36788  LVolsclvol 36789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-lvols 36796
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  36912
  Copyright terms: Public domain W3C validator