Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvoli 38235
Description: Condition implying a 3-dim lattice volume. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolset.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lvolset.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lvolset.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
lvolset.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lvoli (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2 breq1 5141 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯πΆπ‘Œ ↔ π‘‹πΆπ‘Œ))
32rspcev 3606 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 π‘₯πΆπ‘Œ)
433ad2antl3 1187 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 π‘₯πΆπ‘Œ)
5 simpl1 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
6 lvolset.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 lvolset.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
8 lvolset.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
9 lvolset.v . . . 4 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
106, 7, 8, 9islvol 38233 . . 3 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 π‘₯πΆπ‘Œ)))
115, 10syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 π‘₯πΆπ‘Œ)))
121, 4, 11mpbir2and 711 1 (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3069   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6529  Basecbs 17123   β‹– ccvr 37921  LPlanesclpl 38152  LVolsclvol 38153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3430  df-v 3472  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fv 6537  df-lvols 38160
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  38276
  Copyright terms: Public domain W3C validator