Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvoli 39519
Description: Condition implying a 3-dim lattice volume. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolset.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolset.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lvolset.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolset.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvoli (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑉)

Proof of Theorem lvoli
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1190 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝐵)
2 breq1 5152 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌))
32rspcev 3622 . . 3 ((𝑋𝑃𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)
433ad2antl3 1185 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)
5 simpl1 1189 . . 3 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾𝐷)
6 lvolset.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 lvolset.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8 lvolset.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9 lvolset.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
106, 7, 8, 9islvol 39517 . . 3 (𝐾𝐷 → (𝑌𝑉 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
115, 10syl 17 . 2 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑉 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑥𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
121, 4, 11mpbir2and 712 1 (((𝐾𝐷𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1085   = wceq 1535  wcel 2104  wrex 3066   class class class wbr 5149  cfv 6558  Basecbs 17234  ccvr 39205  LPlanesclpl 39436  LVolsclvol 39437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5430
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fv 6566  df-lvols 39444
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  39560
  Copyright terms: Public domain W3C validator