Theorem lvoli 40632

Description: Condition implying a 3-dim lattice volume. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lvolset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolset.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoli	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
2		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶𝑌))
3	2	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)
4	3	3ad2antl3 1206	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)
5		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐷)
6		lvolset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		lvolset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		lvolset.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9		lvolset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	islvol 40630	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
11	5, 10	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
12	1, 4, 11	mpbir2and 726	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  Basecbs 17387   ⋖ ccvr 40319  LPlanesclpl 40549  LVolsclvol 40550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-lvols 40557

This theorem is used by:  lplncvrlvol  40673