Theorem lvoli 40082

Description: Condition implying a 3-dim lattice volume. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolset.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lvolset.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lvolset.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lvolset.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoli	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lvoli

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1200	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
2		breq1 5078	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐶𝑌 ↔ 𝑋𝐶𝑌))
3	2	rspcev 3562	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)
4	3	3ad2antl3 1195	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)
5		simpl1 1199	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾 ∈ 𝐷)
6		lvolset.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		lvolset.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8		lvolset.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9		lvolset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	islvol 40080	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
11	5, 10	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝑥𝐶𝑌)))
12	1, 4, 11	mpbir2and 720	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  Basecbs 17174   ⋖ ccvr 39769  LPlanesclpl 39999  LVolsclvol 40000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-lvols 40007

This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  40123