Theorem islvol3 40068

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islvol3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islvol3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islvol3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islvol3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol3.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islvol3.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islvol3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝,𝑦   ≤ ,𝑝   𝑃,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   ∨ (𝑦,𝑝)   ≤ (𝑦)   𝑉(𝑦,𝑝)

Proof of Theorem islvol3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvol3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		islvol3.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4		islvol3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islvol4 40066	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6		simpll 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
7	1, 3	lplnbase 40026	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑃 → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		islvol3.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		islvol3.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		islvol3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	1, 10, 11, 2, 12	cvrval3 39905	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
15		eqcom 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝)))
17	16	anbi2d 636	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
18	17	rexbidva 3161	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
19	14, 18	bitrd 280	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
20	19	rexbidva 3161	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
21	5, 20	bitrd 280	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  lecple 17218  joincjn 18268   ⋖ ccvr 39754  Atomscatm 39755  HLchlt 39842  LPlanesclpl 39984  LVolsclvol 39985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-lplanes 39991  df-lvols 39992

This theorem is referenced by:  lvoli3  40069  islvol5  40071