Theorem islvol3 40350

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islvol3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islvol3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islvol3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islvol3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol3.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islvol3.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islvol3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝,𝑦   ≤ ,𝑝   𝑃,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   ∨ (𝑦,𝑝)   ≤ (𝑦)   𝑉(𝑦,𝑝)

Proof of Theorem islvol3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvol3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		islvol3.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4		islvol3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islvol4 40348	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
7	1, 3	lplnbase 40308	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑃 → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		islvol3.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		islvol3.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		islvol3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	1, 10, 11, 2, 12	cvrval3 40187	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
15		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝)))
17	16	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
18	17	rexbidva 3187	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
19	14, 18	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
20	19	rexbidva 3187	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
21	5, 20	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  lecple 17312  joincjn 18362   ⋖ ccvr 40036  Atomscatm 40037  HLchlt 40124  LPlanesclpl 40266  LVolsclvol 40267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-lplanes 40273  df-lvols 40274

This theorem is referenced by:  lvoli3  40351  islvol5  40353