Theorem islvol3 40383

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islvol3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islvol3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islvol3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islvol3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol3.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islvol3.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islvol3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝,𝑦   ≤ ,𝑝   𝑃,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   ∨ (𝑦, 𝑝)   ≤ (𝑦)   𝑉(𝑦, 𝑝)

Proof of Theorem islvol3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvol3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		islvol3.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4		islvol3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islvol4 40381	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
7	1, 3	lplnbase 40341	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑃 → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		islvol3.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		islvol3.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		islvol3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	1, 10, 11, 2, 12	cvrval3 40220	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
15		eqcom 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝)))
17	16	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
18	17	rexbidva 3189	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
19	14, 18	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
20	19	rexbidva 3189	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
21	5, 20	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  lecple 17335  joincjn 18385   ⋖ ccvr 40069  Atomscatm 40070  HLchlt 40157  LPlanesclpl 40299  LVolsclvol 40300

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18368  df-poset 18387  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-lat 18506  df-clat 18573  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-lplanes 40306  df-lvols 40307

This theorem is used by:  lvoli3  40384  islvol5  40386