Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islvol3 39287
Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
islvol3.l = (le‘𝐾)
islvol3.j = (join‘𝐾)
islvol3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol3.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
islvol3.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islvol3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑦𝑃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝,𝑦   ,𝑝   𝑃,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   (𝑦,𝑝)   (𝑦)   𝑉(𝑦,𝑝)

Proof of Theorem islvol3
StepHypRef Expression
1 islvol3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2726 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 islvol3.p . . 3 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4 islvol3.v . . 3 𝑉 = (LVols‘𝐾)
51, 2, 3, 4islvol4 39285 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑦𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6 simpll 765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
71, 3lplnbase 39245 . . . . . 6 (𝑦𝑃𝑦𝐵)
87adantl 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → 𝑦𝐵)
9 simplr 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → 𝑋𝐵)
10 islvol3.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
11 islvol3.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
12 islvol3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 39124 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵𝑋𝐵) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋)))
146, 8, 9, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋)))
15 eqcom 2733 . . . . . . 7 ((𝑦 𝑝) = 𝑋𝑋 = (𝑦 𝑝))
1615a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑦 𝑝) = 𝑋𝑋 = (𝑦 𝑝)))
1716anbi2d 628 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
1817rexbidva 3167 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
1914, 18bitrd 278 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑃) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
2019rexbidva 3167 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑦𝑃 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑦𝑃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
215, 20bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑦𝑃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060   class class class wbr 5145  cfv 6545  (class class class)co 7415  Basecbs 17207  lecple 17267  joincjn 18330  ccvr 38972  Atomscatm 38973  HLchlt 39060  LPlanesclpl 39203  LVolsclvol 39204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18314  df-poset 18332  df-plt 18349  df-lub 18365  df-glb 18366  df-join 18367  df-meet 18368  df-p0 18444  df-lat 18451  df-clat 18518  df-oposet 38886  df-ol 38888  df-oml 38889  df-covers 38976  df-ats 38977  df-atl 39008  df-cvlat 39032  df-hlat 39061  df-lplanes 39210  df-lvols 39211
This theorem is referenced by:  lvoli3  39288  islvol5  39290
  Copyright terms: Public domain W3C validator