Theorem iszeroo 18043

Description: The predicate "is a zero object" of a category. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isinito.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isinito.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isinito.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iszeroo	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ∧ 𝐼 ∈ (TermO‘𝐶))))

Proof of Theorem iszeroo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinito.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		isinito.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		isinito.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	zerooval 18040	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)))
5	4	eleq2d 2851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶))))
6		elin 3923	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) ↔ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ∧ 𝐼 ∈ (TermO‘𝐶)))
7	5, 6	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ∧ 𝐼 ∈ (TermO‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3906  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  Hom chom 17309  Catccat 17708  InitOcinito 18026  TermOctermo 18027  ZeroOczeroo 18028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-zeroo 18031

This theorem is referenced by:  iszeroi  18054  zrzeroorngc  20717