MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iszeroo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iszeroo 17994
Description: The predicate "is a zero object" of a category. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinito.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
isinito.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
isinito.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
isinito.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
iszeroo (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” (๐ผ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐ผ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))

Proof of Theorem iszeroo
StepHypRef Expression
1 isinito.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
2 isinito.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
3 isinito.h . . . 4 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
41, 2, 3zerooval 17991 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ZeroOโ€˜๐ถ) = ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)))
54eleq2d 2815 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” ๐ผ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ))))
6 elin 3965 . 2 (๐ผ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)) โ†” (๐ผ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐ผ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ)))
75, 6bitrdi 286 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” (๐ผ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐ผ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆฉ cin 3948  โ€˜cfv 6553  Basecbs 17187  Hom chom 17251  Catccat 17651  InitOcinito 17977  TermOctermo 17978  ZeroOczeroo 17979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-zeroo 17982
This theorem is referenced by:  iszeroi  18005  zrzeroorngc  20584
  Copyright terms: Public domain W3C validator