MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iszeroo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iszeroo 17957
Description: The predicate "is a zero object" of a category. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinito.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
isinito.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
isinito.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
isinito.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
iszeroo (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” (๐ผ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐ผ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))

Proof of Theorem iszeroo
StepHypRef Expression
1 isinito.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
2 isinito.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
3 isinito.h . . . 4 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
41, 2, 3zerooval 17954 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ZeroOโ€˜๐ถ) = ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)))
54eleq2d 2813 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” ๐ผ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ))))
6 elin 3959 . 2 (๐ผ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)) โ†” (๐ผ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐ผ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ)))
75, 6bitrdi 287 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” (๐ผ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐ผ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆฉ cin 3942  โ€˜cfv 6536  Basecbs 17150  Hom chom 17214  Catccat 17614  InitOcinito 17940  TermOctermo 17941  ZeroOczeroo 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-zeroo 17945
This theorem is referenced by:  iszeroi  17968  zrzeroorngc  20537
  Copyright terms: Public domain W3C validator