MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iszeroi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iszeroi 18005
Description: Implication of a class being a zero object. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
iszeroi ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))

Proof of Theorem iszeroi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
2 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜๐ถ)
3 eqid 2728 . . . . . 6 (Hom โ€˜๐ถ) = (Hom โ€˜๐ถ)
41, 2, 3zerooval 17991 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (ZeroOโ€˜๐ถ) = ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)))
54eleq2d 2815 . . . 4 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” ๐‘‚ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ))))
6 elin 3965 . . . . 5 (๐‘‚ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)) โ†” (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ)))
7 initoo 18003 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
87adantrd 490 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ ((๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
96, 8biimtrid 241 . . . 4 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (๐‘‚ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
105, 9sylbid 239 . . 3 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
1110imp 405 . 2 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
12 simpl 481 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
13 simpr 483 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
142, 3, 12, 13iszeroo 17994 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
1514biimpd 228 . . 3 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
1615impancom 450 . 2 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
1711, 16jcai 515 1 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2098   โˆฉ cin 3948  โ€˜cfv 6553  Basecbs 17187  Hom chom 17251  Catccat 17651  InitOcinito 17977  TermOctermo 17978  ZeroOczeroo 17979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-inito 17980  df-zeroo 17982
This theorem is referenced by:  nzerooringczr  21413
  Copyright terms: Public domain W3C validator