MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iszeroi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iszeroi 17968
Description: Implication of a class being a zero object. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
iszeroi ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))

Proof of Theorem iszeroi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜๐ถ)
3 eqid 2726 . . . . . 6 (Hom โ€˜๐ถ) = (Hom โ€˜๐ถ)
41, 2, 3zerooval 17954 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (ZeroOโ€˜๐ถ) = ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)))
54eleq2d 2813 . . . 4 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” ๐‘‚ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ))))
6 elin 3959 . . . . 5 (๐‘‚ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)) โ†” (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ)))
7 initoo 17966 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
87adantrd 491 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ ((๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
96, 8biimtrid 241 . . . 4 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (๐‘‚ โˆˆ ((InitOโ€˜๐ถ) โˆฉ (TermOโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
105, 9sylbid 239 . . 3 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
1110imp 406 . 2 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
12 simpl 482 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
13 simpr 484 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
142, 3, 12, 13iszeroo 17957 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†” (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
1514biimpd 228 . . 3 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
1615impancom 451 . 2 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
1711, 16jcai 516 1 ((๐ถ โˆˆ Cat โˆง ๐‘‚ โˆˆ (ZeroOโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง (๐‘‚ โˆˆ (InitOโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘‚ โˆˆ (TermOโ€˜๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098   โˆฉ cin 3942  โ€˜cfv 6536  Basecbs 17150  Hom chom 17214  Catccat 17614  InitOcinito 17940  TermOctermo 17941  ZeroOczeroo 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-inito 17943  df-zeroo 17945
This theorem is referenced by:  nzerooringczr  21362
  Copyright terms: Public domain W3C validator