MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istermo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istermo 17956
Description: The predicate "is a terminal object" of a category. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinito.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
isinito.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
isinito.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
isinito.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
istermo (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (TermOβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑏   𝐢,𝑏,β„Ž   𝐼,𝑏,β„Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,𝑏)   𝐡(β„Ž)   𝐻(β„Ž,𝑏)

Proof of Theorem istermo
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isinito.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2 isinito.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
3 isinito.h . . . 4 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
41, 2, 3termoval 17953 . . 3 (πœ‘ β†’ (TermOβ€˜πΆ) = {𝑖 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝑖)})
54eleq2d 2813 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (TermOβ€˜πΆ) ↔ 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝑖)}))
6 isinito.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
7 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑏𝐻𝑖) = (𝑏𝐻𝐼))
87eleq2d 2813 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝑖) ↔ β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝐼)))
98eubidv 2574 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝑖) ↔ βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝐼)))
109ralbidv 3171 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝑖) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝐼)))
1110elrab3 3679 . . 3 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝑖)} ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝐼)))
126, 11syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝑖)} ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝐼)))
135, 12bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (TermOβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒ!β„Ž β„Ž ∈ (𝑏𝐻𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2556  βˆ€wral 3055  {crab 3426  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  Hom chom 17214  Catccat 17614  TermOctermo 17941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-termo 17944
This theorem is referenced by:  istermoi  17959  zrtermorngc  20536  zrtermoringc  20568
  Copyright terms: Public domain W3C validator