Theorem zrzeroorngc 20805

Description: The zero ring is a zero object in the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrinitorngc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
zrinitorngc.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
zrinitorngc.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
zrinitorngc.e	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
zrzeroorngc	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (ZeroO‘𝐶))

Proof of Theorem zrzeroorngc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrinitorngc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		zrinitorngc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		zrinitorngc.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
4		zrinitorngc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
5	1, 2, 3, 4	zrinitorngc 20803	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (InitO‘𝐶))
6	1, 2, 3, 4	zrtermorngc 20804	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶))
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
9	2	rngccat 20795	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
10	1, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
11	3	eldifad 3914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
12		ringrng 20425	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Rng)
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Rng)
14	4, 13	elind 4149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
15	2, 7, 1	rngcbas 20782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
16	14, 15	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
17	7, 8, 10, 16	iszeroo 18089	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ (𝑍 ∈ (InitO‘𝐶) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶))))
18	5, 6, 17	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (ZeroO‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901  ‘cfv 6537  Basecbs 17303  Hom chom 17355  Catccat 17754  InitOcinito 18072  TermOctermo 18073  ZeroOczeroo 18074  Rngcrng 20286  Ringcrg 20371  NzRingcnzr 20671  RngCatcrngc 20777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-cat 17758  df-cid 17759  df-homf 17760  df-ssc 17901  df-resc 17902  df-subc 17903  df-inito 18075  df-termo 18076  df-zeroo 18077  df-estrc 18213  df-mgm 18732  df-mgmhm 18794  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-ghm 19340  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-rnghm 20576  df-nzr 20672  df-rngc 20778

This theorem is used by: (None)