Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmtbr4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmtbr4N 38637
Description: Alternate definition for the commutes relation. (cmbr4i 31358 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cmtbr4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cmtbr4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cmtbr4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cmtbr4.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
cmtbr4.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cmtbr4N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
Proof of Theorem cmtbr4N
StepHypRef Expression
1 cmtbr4.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cmtbr4.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 cmtbr4.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 cmtbr4.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
5 cmtbr4.c . . 3 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5cmtbr3N 38636 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
7 omllat 38624 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
8 cmtbr4.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
91, 8, 3latmle2 18427 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
107, 9syl3an1 1160 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
11 breq1 5144 . . . 4 ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
1210, 11syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
1373ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
15 omlop 38623 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
16153ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
171, 4opoccl 38576 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1816, 14, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
19 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
201, 2latjcl 18401 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
221, 8, 3latmle1 18426 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋)
2313, 14, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋)
2423anim1i 614 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
2524ex 412 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ)))
261, 3latmcl 18402 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
2713, 14, 21, 26syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
281, 8, 3latlem12 18428 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2913, 27, 14, 19, 28syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
3025, 29sylibd 238 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
311, 8, 2latlej2 18411 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))
3213, 18, 19, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))
331, 8, 3latmlem2 18432 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))))
3413, 19, 21, 14, 33syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))))
3532, 34mpd 15 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)))
3630, 35jctird 526 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)))))
371, 3latmcl 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
387, 37syl3an1 1160 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
391, 8latasymb 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4013, 27, 38, 39syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4136, 40sylibd 238 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4212, 41impbid 211 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
436, 42bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  occoc 17211  joincjn 18273  meetcmee 18274  Latclat 18393  OPcops 38554  cmccmtN 38555  OMLcoml 38557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-lat 18394  df-oposet 38558  df-cmtN 38559  df-ol 38560  df-oml 38561
This theorem is referenced by:  lecmtN  38638
  Copyright terms: Public domain W3C validator