Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmtbr4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmtbr4N 38759
Description: Alternate definition for the commutes relation. (cmbr4i 31431 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cmtbr4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cmtbr4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cmtbr4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cmtbr4.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
cmtbr4.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cmtbr4N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
Proof of Theorem cmtbr4N
StepHypRef Expression
1 cmtbr4.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cmtbr4.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 cmtbr4.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 cmtbr4.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
5 cmtbr4.c . . 3 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5cmtbr3N 38758 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
7 omllat 38746 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
8 cmtbr4.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
91, 8, 3latmle2 18464 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
107, 9syl3an1 1160 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
11 breq1 5155 . . . 4 ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
1210, 11syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
1373ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
15 omlop 38745 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
16153ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
171, 4opoccl 38698 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1816, 14, 17syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
19 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
201, 2latjcl 18438 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
221, 8, 3latmle1 18463 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋)
2313, 14, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋)
2423anim1i 613 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
2524ex 411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ)))
261, 3latmcl 18439 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
2713, 14, 21, 26syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
281, 8, 3latlem12 18465 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2913, 27, 14, 19, 28syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
3025, 29sylibd 238 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
311, 8, 2latlej2 18448 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))
3213, 18, 19, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))
331, 8, 3latmlem2 18469 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))))
3413, 19, 21, 14, 33syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))))
3532, 34mpd 15 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)))
3630, 35jctird 525 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)))))
371, 3latmcl 18439 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
387, 37syl3an1 1160 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
391, 8latasymb 18441 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4013, 27, 38, 39syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4136, 40sylibd 238 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4212, 41impbid 211 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
436, 42bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  occoc 17248  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  OPcops 38676  cmccmtN 38677  OMLcoml 38679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-lat 18431  df-oposet 38680  df-cmtN 38681  df-ol 38682  df-oml 38683
This theorem is referenced by:  lecmtN  38760
  Copyright terms: Public domain W3C validator