Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cmtbr4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmtbr4N 38125
Description: Alternate definition for the commutes relation. (cmbr4i 30854 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cmtbr4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cmtbr4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cmtbr4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cmtbr4.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
cmtbr4.c 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cmtbr4N ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
Proof of Theorem cmtbr4N
StepHypRef Expression
1 cmtbr4.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cmtbr4.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 cmtbr4.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 cmtbr4.o . . 3 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
5 cmtbr4.c . . 3 𝐢 = (cmβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5cmtbr3N 38124 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
7 omllat 38112 . . . . 5 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ Lat)
8 cmtbr4.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
91, 8, 3latmle2 18418 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
107, 9syl3an1 1164 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
11 breq1 5152 . . . 4 ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
1210, 11syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
1373ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
15 omlop 38111 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ OML β†’ 𝐾 ∈ OP)
16153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
171, 4opoccl 38064 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1816, 14, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
19 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
201, 2latjcl 18392 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
221, 8, 3latmle1 18417 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋)
2313, 14, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋)
2423anim1i 616 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
2524ex 414 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ)))
261, 3latmcl 18393 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
2713, 14, 21, 26syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
281, 8, 3latlem12 18419 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
2913, 27, 14, 19, 28syl13anc 1373 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
3025, 29sylibd 238 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
311, 8, 2latlej2 18402 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))
3213, 18, 19, 31syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))
331, 8, 3latmlem2 18423 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))))
3413, 19, 21, 14, 33syl13anc 1373 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))))
3532, 34mpd 15 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)))
3630, 35jctird 528 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)))))
371, 3latmcl 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
387, 37syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
391, 8latasymb 18395 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4013, 27, 38, 39syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ))) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4136, 40sylibd 238 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4212, 41impbid 211 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
436, 42bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 ∧ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∨ π‘Œ)) ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  occoc 17205  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  OPcops 38042  cmccmtN 38043  OMLcoml 38045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18385  df-oposet 38046  df-cmtN 38047  df-ol 38048  df-oml 38049
This theorem is referenced by:  lecmtN  38126
  Copyright terms: Public domain W3C validator