Theorem lubun 18404

Description: The LUB of a union. (Contributed by NM, 5-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubun.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lubun.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubun	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))

Proof of Theorem lubun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubun.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		lubun.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		biid 260	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
6		unss 4144	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ↔ (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐵)
7	6	biimpi 215	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐵)
8	7	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lubval 18245	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
10		clatl 18397	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
11	10	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
12	1, 3	clatlubcl 18392	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
14	1, 3	clatlubcl 18392	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
15	14	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
16		lubun.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
17	1, 16	latjcl 18328	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
18	11, 13, 15, 17	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
19		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
20	19, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
21		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
22		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
23	21, 22	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24	19, 21, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
25		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
26	19, 25, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
27	20, 24, 26, 17	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
28	1, 2, 3	lubel 18403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈‘𝑆))
29	19, 22, 21, 28	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈‘𝑆))
30	1, 2, 16	latlej1 18337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
31	20, 24, 26, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
32	1, 2, 20, 23, 24, 27, 29, 31	lattrd 18335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
33	32	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
34	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
35		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
36		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑇)
37	35, 36	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
39	38, 35, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
40	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
41	1, 2, 3	lubel 18403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈‘𝑇))
42	38, 36, 35, 41	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈‘𝑇))
43		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
44	38, 43, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
45	1, 2, 16	latlej2 18338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
46	34, 44, 39, 45	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
47	1, 2, 34, 37, 39, 40, 42, 46	lattrd 18335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
48	47	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
49		ralunb 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
50	33, 48, 49	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
51		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
52	51	ralbidv 3174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
53		breq2 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
54	52, 53	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))))
55	54	rspcv 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))))
56	18, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))))
57	50, 56	mpid 44	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
58	57	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
59	58	ad2ant2rl 747	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
60		ralunb 4151	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
61		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
62		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
63		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
64	1, 2, 3	lubl 18401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
66		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
67	1, 2, 3	lubl 18401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
68	61, 66, 63, 67	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
69	65, 68	anim12d 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥)))
70	61, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
71	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
72	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
73	1, 2, 16	latjle12 18339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
74	70, 71, 72, 63, 73	syl13anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
75	69, 74	sylibd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
76	60, 75	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
77	76	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
78	77	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
79	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
80	1, 2	latasymb 18331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
81	70, 63, 79, 80	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
82	81	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
83	59, 78, 82	mpbi2and 710	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
84	83	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
85		elun 4108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∨ 𝑦 ∈ 𝑇))
86	32, 47	jaodan 956	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∨ 𝑦 ∈ 𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
87	85, 86	sylan2b 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
88	87	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
89		ralunb 4151	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧))
90		simpl1 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
91		simpl2 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
92		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
93	1, 2, 3	lubl 18401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
95		simpl3 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
96	1, 2, 3	lubl 18401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
97	90, 95, 92, 96	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
98	94, 97	anim12d 609	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
99	89, 98	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
100	90, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
101	90, 91, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
102	90, 95, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
103	1, 2, 16	latjle12 18339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
104	100, 101, 102, 92, 103	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
105	99, 104	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
106	105	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
107		breq2 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
108	107	ralbidv 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
109		breq1 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
110	109	imbi2d 340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
111	110	ralbidv 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
112	108, 111	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))))
113	112	biimprcd 249	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
114	88, 106, 113	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
115	114	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
116	84, 115	impbid 211	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
117	18, 116	riota5 7343	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
118	9, 117	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  ℩crio 7312  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  lubclub 18198  joincjn 18200  Latclat 18320  CLatccla 18387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-lat 18321  df-clat 18388

This theorem is referenced by:  paddunN  38390  poldmj1N  38391