MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubun 18573
Description: The LUB of a union. (Contributed by NM, 5-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lubun.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubun.j = (join‘𝐾)
lubun.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubun ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈‘(𝑆𝑇)) = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))

Proof of Theorem lubun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubun.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2735 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 lubun.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 261 . . 3 ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5 simp1 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
6 unss 4200 . . . . 5 ((𝑆𝐵𝑇𝐵) ↔ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐵)
76biimpi 216 . . . 4 ((𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐵)
873adant1 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 8lubval 18414 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈‘(𝑆𝑇)) = (𝑥𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
10 clatl 18566 . . . . 5 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
11103ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
121, 3clatlubcl 18561 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
13123adant3 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
141, 3clatlubcl 18561 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
15143adant2 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
16 lubun.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
171, 16latjcl 18497 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
1811, 13, 15, 17syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
19 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
2019, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
21 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑆𝐵)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2321, 22sseldd 3996 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
2419, 21, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
25 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
2619, 25, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
2720, 24, 26, 17syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
281, 2, 3lubel 18572 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦𝑆𝑆𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑆))
2919, 22, 21, 28syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑆))
301, 2, 16latlej1 18506 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
3120, 24, 26, 30syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
321, 2, 20, 23, 24, 27, 29, 31lattrd 18504 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
3332ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
3411adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
35 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑇𝐵)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦𝑇)
3735, 36sseldd 3996 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦𝐵)
38 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
3938, 35, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
4018adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
411, 2, 3lubel 18572 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦𝑇𝑇𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑇))
4238, 36, 35, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑇))
43 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑆𝐵)
4438, 43, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
451, 2, 16latlej2 18507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
4634, 44, 39, 45syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
471, 2, 34, 37, 39, 40, 42, 46lattrd 18504 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
4847ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
49 ralunb 4207 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5033, 48, 49sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
51 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5251ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
53 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5452, 53imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))))
5554rspcv 3618 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))))
5618, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))))
5750, 56mpid 44 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5857imp 406 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
5958ad2ant2rl 749 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
60 ralunb 4207 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
61 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
62 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑆𝐵)
63 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
641, 2, 3lubl 18570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
6561, 62, 63, 64syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
66 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑇𝐵)
671, 2, 3lubl 18570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
6861, 66, 63, 67syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
6965, 68anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥)))
7061, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
7215adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
731, 2, 16latjle12 18508 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵𝑥𝐵)) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7470, 71, 72, 63, 73syl13anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7569, 74sylibd 239 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7660, 75biimtrid 242 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7776imp 406 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
7877adantrr 717 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
7918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
801, 2latasymb 18500 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵 ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
8170, 63, 79, 80syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
8281adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
8359, 78, 82mpbi2and 712 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
8483ex 412 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
85 elun 4163 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑆𝑇) ↔ (𝑦𝑆𝑦𝑇))
8632, 47jaodan 959 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ (𝑦𝑆𝑦𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
8785, 86sylan2b 594 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
8887ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
89 ralunb 4207 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧))
90 simpl1 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
91 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑆𝐵)
92 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
931, 2, 3lubl 18570 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
9490, 91, 92, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
95 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑇𝐵)
961, 2, 3lubl 18570 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
9790, 95, 92, 96syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
9894, 97anim12d 609 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
9989, 98biimtrid 242 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
10090, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10190, 91, 12syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
10290, 95, 14syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
1031, 2, 16latjle12 18508 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
104100, 101, 102, 92, 103syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
10599, 104sylibd 239 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
106105ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
107 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
108107ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
109 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
110109imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
111110ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
112108, 111anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))))
113112biimprcd 250 . . . . . 6 ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11488, 106, 113syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
115114adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11684, 115impbid 212 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
11718, 116riota5 7417 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑥𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
1189, 117eqtrd 2775 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈‘(𝑆𝑇)) = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cun 3961  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  lubclub 18367  joincjn 18369  Latclat 18489  CLatccla 18556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490  df-clat 18557
This theorem is referenced by:  paddunN  39910  poldmj1N  39911
  Copyright terms: Public domain W3C validator