Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubun 17729
 Description: The LUB of a union. (Contributed by NM, 5-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lubun.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubun.j = (join‘𝐾)
lubun.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubun ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈‘(𝑆𝑇)) = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))

Proof of Theorem lubun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubun.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2801 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 lubun.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 264 . . 3 ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
6 unss 4114 . . . . 5 ((𝑆𝐵𝑇𝐵) ↔ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐵)
76biimpi 219 . . . 4 ((𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐵)
873adant1 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 8lubval 17590 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈‘(𝑆𝑇)) = (𝑥𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
10 clatl 17722 . . . . 5 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
11103ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
121, 3clatlubcl 17718 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
13123adant3 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
141, 3clatlubcl 17718 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
15143adant2 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
16 lubun.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
171, 16latjcl 17657 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
1811, 13, 15, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
19 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
2019, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
21 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑆𝐵)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2321, 22sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
2419, 21, 12syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
25 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
2619, 25, 14syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
2720, 24, 26, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
281, 2, 3lubel 17728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦𝑆𝑆𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑆))
2919, 22, 21, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑆))
301, 2, 16latlej1 17666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
3120, 24, 26, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
321, 2, 20, 23, 24, 27, 29, 31lattrd 17664 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
3332ralrimiva 3152 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
3411adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
35 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑇𝐵)
36 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦𝑇)
3735, 36sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦𝐵)
38 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
3938, 35, 14syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
4018adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
411, 2, 3lubel 17728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦𝑇𝑇𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑇))
4238, 36, 35, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑇))
43 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑆𝐵)
4438, 43, 12syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
451, 2, 16latlej2 17667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
4634, 44, 39, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
471, 2, 34, 37, 39, 40, 42, 46lattrd 17664 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
4847ralrimiva 3152 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
49 ralunb 4121 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5033, 48, 49sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
51 breq2 5037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5251ralbidv 3165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
53 breq2 5037 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5452, 53imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))))
5554rspcv 3569 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))))
5618, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))))
5750, 56mpid 44 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5857imp 410 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
5958ad2ant2rl 748 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
60 ralunb 4121 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
61 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
62 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑆𝐵)
63 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
641, 2, 3lubl 17726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
6561, 62, 63, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
66 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑇𝐵)
671, 2, 3lubl 17726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
6861, 66, 63, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
6965, 68anim12d 611 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥)))
7061, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7113adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
7215adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
731, 2, 16latjle12 17668 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵𝑥𝐵)) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7470, 71, 72, 63, 73syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7569, 74sylibd 242 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7660, 75syl5bi 245 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7776imp 410 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
7877adantrr 716 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
7918adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
801, 2latasymb 17660 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵 ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
8170, 63, 79, 80syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
8281adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
8359, 78, 82mpbi2and 711 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
8483ex 416 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
85 elun 4079 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑆𝑇) ↔ (𝑦𝑆𝑦𝑇))
8632, 47jaodan 955 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ (𝑦𝑆𝑦𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
8785, 86sylan2b 596 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
8887ralrimiva 3152 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
89 ralunb 4121 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧))
90 simpl1 1188 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
91 simpl2 1189 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑆𝐵)
92 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
931, 2, 3lubl 17726 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
9490, 91, 92, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
95 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑇𝐵)
961, 2, 3lubl 17726 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
9790, 95, 92, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
9894, 97anim12d 611 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
9989, 98syl5bi 245 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
10090, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10190, 91, 12syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
10290, 95, 14syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
1031, 2, 16latjle12 17668 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
104100, 101, 102, 92, 103syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
10599, 104sylibd 242 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
106105ralrimiva 3152 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
107 breq2 5037 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
108107ralbidv 3165 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
109 breq1 5036 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
110109imbi2d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
111110ralbidv 3165 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
112108, 111anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))))
113112biimprcd 253 . . . . . 6 ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11488, 106, 113syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
115114adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11684, 115impbid 215 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
11718, 116riota5 7126 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑥𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
1189, 117eqtrd 2836 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈‘(𝑆𝑇)) = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ∪ cun 3882   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  ℩crio 7096  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  lecple 16568  lubclub 17548  joincjn 17550  Latclat 17651  CLatccla 17713 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-proset 17534  df-poset 17552  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-lat 17652  df-clat 17714 This theorem is referenced by:  paddunN  37222  poldmj1N  37223
 Copyright terms: Public domain W3C validator