MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubun 18418
Description: The LUB of a union. (Contributed by NM, 5-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lubun.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubun.j = (join‘𝐾)
lubun.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubun ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈‘(𝑆𝑇)) = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))

Proof of Theorem lubun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubun.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2731 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 lubun.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 260 . . 3 ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
6 unss 4149 . . . . 5 ((𝑆𝐵𝑇𝐵) ↔ (𝑆𝑇) ⊆ 𝐵)
76biimpi 215 . . . 4 ((𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐵)
873adant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆𝑇) ⊆ 𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 8lubval 18259 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈‘(𝑆𝑇)) = (𝑥𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
10 clatl 18411 . . . . 5 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
11103ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
121, 3clatlubcl 18406 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
13123adant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
141, 3clatlubcl 18406 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
15143adant2 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
16 lubun.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
171, 16latjcl 18342 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
1811, 13, 15, 17syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
19 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
2019, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
21 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑆𝐵)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2321, 22sseldd 3948 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
2419, 21, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
25 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
2619, 25, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
2720, 24, 26, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
281, 2, 3lubel 18417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦𝑆𝑆𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑆))
2919, 22, 21, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑆))
301, 2, 16latlej1 18351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
3120, 24, 26, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
321, 2, 20, 23, 24, 27, 29, 31lattrd 18349 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
3332ralrimiva 3139 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
3411adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
35 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑇𝐵)
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦𝑇)
3735, 36sseldd 3948 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦𝐵)
38 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
3938, 35, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
4018adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
411, 2, 3lubel 18417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦𝑇𝑇𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑇))
4238, 36, 35, 41syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈𝑇))
43 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑆𝐵)
4438, 43, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
451, 2, 16latlej2 18352 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
4634, 44, 39, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
471, 2, 34, 37, 39, 40, 42, 46lattrd 18349 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
4847ralrimiva 3139 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
49 ralunb 4156 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5033, 48, 49sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
51 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5251ralbidv 3170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
53 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5452, 53imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))))
5554rspcv 3578 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵 → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))))
5618, 55syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))))
5750, 56mpid 44 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
5857imp 407 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
5958ad2ant2rl 747 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
60 ralunb 4156 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
61 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
62 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑆𝐵)
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
641, 2, 3lubl 18415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
6561, 62, 63, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
66 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑇𝐵)
671, 2, 3lubl 18415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
6861, 66, 63, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
6965, 68anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥)))
7061, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7113adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
7215adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
731, 2, 16latjle12 18353 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵𝑥𝐵)) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7470, 71, 72, 63, 73syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7569, 74sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7660, 75biimtrid 241 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
7776imp 407 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
7877adantrr 715 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
7918adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵)
801, 2latasymb 18345 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵 ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∈ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
8170, 63, 79, 80syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
8281adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
8359, 78, 82mpbi2and 710 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
8483ex 413 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
85 elun 4113 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑆𝑇) ↔ (𝑦𝑆𝑦𝑇))
8632, 47jaodan 956 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ (𝑦𝑆𝑦𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
8785, 86sylan2b 594 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
8887ralrimiva 3139 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
89 ralunb 4156 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧))
90 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
91 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑆𝐵)
92 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
931, 2, 3lubl 18415 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
9490, 91, 92, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
95 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑇𝐵)
961, 2, 3lubl 18415 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
9790, 95, 92, 96syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
9894, 97anim12d 609 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
9989, 98biimtrid 241 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
10090, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10190, 91, 12syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
10290, 95, 14syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
1031, 2, 16latjle12 18353 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
104100, 101, 102, 92, 103syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑈𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
10599, 104sylibd 238 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
106105ralrimiva 3139 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
107 breq2 5114 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
108107ralbidv 3170 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
109 breq1 5113 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
110109imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
111110ralbidv 3170 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
112108, 111anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧))))
113112biimprcd 249 . . . . . 6 ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11488, 106, 113syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
115114adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
11684, 115impbid 211 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ 𝑥 = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇))))
11718, 116riota5 7348 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑥𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
1189, 117eqtrd 2771 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑈‘(𝑆𝑇)) = ((𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  cun 3911  wss 3913   class class class wbr 5110  cfv 6501  crio 7317  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  lecple 17154  lubclub 18212  joincjn 18214  Latclat 18334  CLatccla 18401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18198  df-poset 18216  df-lub 18249  df-glb 18250  df-join 18251  df-meet 18252  df-lat 18335  df-clat 18402
This theorem is referenced by:  paddunN  38463  poldmj1N  38464
  Copyright terms: Public domain W3C validator