Theorem pmap11 39763

Description: The projective map of a Hilbert lattice is one-to-one. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmap11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmap11.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmap11	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem pmap11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3965	. 2 ⊢ ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌) ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋)))
2		hllat 39363	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3		pmap11.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5	3, 4	latasymb 18408	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
6	2, 5	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
7		pmap11.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
8	3, 4, 7	pmaple 39762	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌)))
9	3, 4, 7	pmaple 39762	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋)))
10	9	3com23 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋)))
11	8, 10	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋))))
12	6, 11	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋))))
13	1, 12	bitr4id 290	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  Latclat 18397  HLchlt 39350  pmapcpmap 39498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-pmap 39505

This theorem is referenced by:  pmapeq0  39767  isline3  39777  lncvrelatN  39782