Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmap11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pmap11 38938
Description: The projective map of a Hilbert lattice is one-to-one. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmap11.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmap11.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmap11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Proof of Theorem pmap11
StepHypRef Expression
1 eqss 3998 . 2 ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜π‘Œ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜π‘‹)))
2 hllat 38538 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 pmap11.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2730 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
53, 4latasymb 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
62, 5syl3an1 1161 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
7 pmap11.m . . . . 5 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
83, 4, 7pmaple 38937 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜π‘Œ)))
93, 4, 7pmaple 38937 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜π‘‹)))
1093com23 1124 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜π‘‹)))
118, 10anbi12d 629 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜π‘Œ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜π‘‹))))
126, 11bitr3d 280 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ ((π‘€β€˜π‘‹) βŠ† (π‘€β€˜π‘Œ) ∧ (π‘€β€˜π‘Œ) βŠ† (π‘€β€˜π‘‹))))
131, 12bitr4id 289 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17150  lecple 17210  Latclat 18390  HLchlt 38525  pmapcpmap 38673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-proset 18254  df-poset 18272  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 38351  df-ol 38353  df-oml 38354  df-covers 38441  df-ats 38442  df-atl 38473  df-cvlat 38497  df-hlat 38526  df-pmap 38680
This theorem is referenced by:  pmapeq0  38942  isline3  38952  lncvrelatN  38957
  Copyright terms: Public domain W3C validator