Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmap11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmap11 36934
Description: The projective map of a Hilbert lattice is one-to-one. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmap11.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmap11.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmap11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem pmap11
StepHypRef Expression
1 hllat 36535 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 pmap11.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 eqid 2820 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
42, 3latasymb 17643 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
51, 4syl3an1 1159 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
6 pmap11.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
72, 3, 6pmaple 36933 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌)))
82, 3, 6pmaple 36933 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋)))
983com23 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋)))
107, 9anbi12d 632 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋))))
115, 10bitr3d 283 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋))))
12 eqss 3961 . 2 ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋)))
1311, 12syl6rbbr 292 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wss 3913   class class class wbr 5042  cfv 6331  Basecbs 16462  lecple 16551  Latclat 17634  HLchlt 36522  pmapcpmap 36669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-pmap 36676
This theorem is referenced by:  pmapeq0  36938  isline3  36948  lncvrelatN  36953
  Copyright terms: Public domain W3C validator