Theorem pmap11 40222

Description: The projective map of a Hilbert lattice is one-to-one. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmap11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmap11.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmap11	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem pmap11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3938	. 2 ⊢ ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌) ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋)))
2		hllat 39823	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3		pmap11.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5	3, 4	latasymb 18399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
6	2, 5	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
7		pmap11.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
8	3, 4, 7	pmaple 40221	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌)))
9	3, 4, 7	pmaple 40221	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋)))
10	9	3com23 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋)))
11	8, 10	anbi12d 633	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋))))
12	6, 11	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (𝑀‘𝑌) ∧ (𝑀‘𝑌) ⊆ (𝑀‘𝑋))))
13	1, 12	bitr4id 290	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  lecple 17218  Latclat 18388  HLchlt 39810  pmapcpmap 39957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-pmap 39964

This theorem is referenced by:  pmapeq0  40226  isline3  40236  lncvrelatN  40241