Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlateq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlateq 38872
Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat4i 32196 analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
hlatle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlatle.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlateq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝

Proof of Theorem hlateq
StepHypRef Expression
1 ralbiim 3110 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)))
2 hlatle.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 hlatle.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 hlatle.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
52, 3, 4hlatle 38871 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
62, 3, 4hlatle 38871 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)))
763com23 1124 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)))
85, 7anbi12d 631 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋))))
91, 8bitr4id 290 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋)))
10 hllat 38835 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
112, 3latasymb 18434 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
1210, 11syl3an1 1161 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
139, 12bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  Latclat 18423  Atomscatm 38735  HLchlt 38822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823
This theorem is referenced by:  lauteq  39568  ltrneq2  39621
  Copyright terms: Public domain W3C validator