Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlateq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlateq 35420
Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat4i 29757 analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlatle.l = (le‘𝐾)
hlatle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlateq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem hlateq
StepHypRef Expression
1 hlatle.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 hlatle.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 hlatle.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3hlatle 35419 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
51, 2, 3hlatle 35419 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
653com23 1157 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
74, 6anbi12d 625 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ∧ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋))))
8 ralbiim 3250 . . 3 (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ∧ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
97, 8syl6rbbr 282 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌𝑌 𝑋)))
10 hllat 35384 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
111, 2latasymb 17369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
1210, 11syl3an1 1203 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
139, 12bitrd 271 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089   class class class wbr 4843  cfv 6101  Basecbs 16184  lecple 16274  Latclat 17360  Atomscatm 35284  HLchlt 35371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-lat 17361  df-clat 17423  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372
This theorem is referenced by:  lauteq  36116  ltrneq2  36169
  Copyright terms: Public domain W3C validator