Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlateq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlateq 39382
Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat4i 32402 analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlatle.l = (le‘𝐾)
hlatle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlateq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem hlateq
StepHypRef Expression
1 ralbiim 3111 . . 3 (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ∧ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
2 hlatle.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 hlatle.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 hlatle.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
52, 3, 4hlatle 39381 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
62, 3, 4hlatle 39381 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
763com23 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
85, 7anbi12d 632 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ∧ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋))))
91, 8bitr4id 290 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌𝑌 𝑋)))
10 hllat 39345 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
112, 3latasymb 18500 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
1210, 11syl3an1 1162 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
139, 12bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333
This theorem is referenced by:  lauteq  40078  ltrneq2  40131
  Copyright terms: Public domain W3C validator