Theorem hlateq 40206

Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat4i 32772 analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlatle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlateq	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem hlateq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralbiim 3129	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
2		hlatle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlatle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		hlatle.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	2, 3, 4	hlatle 40205	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	2, 3, 4	hlatle 40205	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
7	6	3com23 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
8	5, 7	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋))))
9	1, 8	bitr4id 293	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋)))
10		hllat 40170	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
11	2, 3	latasymb 18516	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	10, 11	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
13	9, 12	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17287  lecple 17335  Latclat 18505  Atomscatm 40070  HLchlt 40157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18368  df-poset 18387  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-lat 18506  df-clat 18573  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158

This theorem is used by:  lauteq  40902  ltrneq2  40955