Theorem hlateq 37413

Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat4i 30735 analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlatle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlateq	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem hlateq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralbiim 3099	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
2		hlatle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlatle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		hlatle.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	2, 3, 4	hlatle 37412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌)))
6	2, 3, 4	hlatle 37412	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
7	6	3com23 1125	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑋 ↔ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋)))
8	5, 7	anbi12d 631	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑌) ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑌 → 𝑝 ≤ 𝑋))))
9	1, 8	bitr4id 290	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋)))
10		hllat 37377	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
11	2, 3	latasymb 18160	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	10, 11	syl3an1 1162	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
13	9, 12	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑝 ≤ 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Latclat 18149  Atomscatm 37277  HLchlt 37364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365

This theorem is referenced by:  lauteq  38109  ltrneq2  38162