Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlateq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlateq 38781
Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. (chrelat4i 32131 analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
hlatle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlatle.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlateq ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝

Proof of Theorem hlateq
StepHypRef Expression
1 ralbiim 3107 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)))
2 hlatle.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 hlatle.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 hlatle.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
52, 3, 4hlatle 38780 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ)))
62, 3, 4hlatle 38780 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)))
763com23 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)))
85, 7anbi12d 630 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 β†’ 𝑝 ≀ π‘Œ) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Œ β†’ 𝑝 ≀ 𝑋))))
91, 8bitr4id 290 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋)))
10 hllat 38744 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
112, 3latasymb 18405 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
1210, 11syl3an1 1160 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
139, 12bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑝 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  Latclat 18394  Atomscatm 38644  HLchlt 38731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732
This theorem is referenced by:  lauteq  39477  ltrneq2  39530
  Copyright terms: Public domain W3C validator