Theorem dia11N 39062

Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is one-to-one in the region under co-atom 𝑊. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 28. (Contributed by NM, 25-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dia11.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia11N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dia11N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3936	. 2 ⊢ ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘𝑌) ↔ ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋)))
2		dia11.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dia11.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		dia11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dia11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	diaord 39061	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
7	2, 3, 4, 5	diaord 39061	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 𝑋))
8	7	3com23 1125	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 𝑋))
9	6, 8	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋)) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋)))
10		simp1l 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
11	10	hllatd 37378	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simp2l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simp3l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	2, 3	latasymb 18160	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
16	9, 15	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
17	1, 16	syl5bb 283	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Latclat 18149  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DIsoAcdia 39042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-disoa 39043

This theorem is referenced by:  diaf11N  39063