Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia11N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia11N 40521
Description: The partial isomorphism A for a lattice 𝐾 is one-to-one in the region under co-atom π‘Š. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 28. (Contributed by NM, 25-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia11.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dia11.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia11.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia11.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dia11N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem dia11N
StepHypRef Expression
1 eqss 3995 . 2 ((πΌβ€˜π‘‹) = (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹)))
2 dia11.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 dia11.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 dia11.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dia11.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5diaord 40520 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
72, 3, 4, 5diaord 40520 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ≀ 𝑋))
873com23 1124 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹) ↔ π‘Œ ≀ 𝑋))
96, 8anbi12d 631 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹)) ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋)))
10 simp1l 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1110hllatd 38836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 simp2l 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 simp3l 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
142, 3latasymb 18434 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
169, 15bitrd 279 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) βŠ† (πΌβ€˜π‘‹)) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
171, 16bitrid 283 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) = (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  Latclat 18423  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DIsoAcdia 40501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-disoa 40502
This theorem is referenced by:  diaf11N  40522
  Copyright terms: Public domain W3C validator