Theorem dib11N 42034

Description: The isomorphism B for a lattice 𝐾 is one-to-one in the region under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib11.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dib11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dib11N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dib11N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3946	. 2 ⊢ ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘𝑌) ↔ ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋)))
2		dib11.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dib11.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		dib11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dib11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	dibord 42033	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
7	2, 3, 4, 5	dibord 42033	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 𝑋))
8	7	3com23 1144	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 𝑋))
9	6, 8	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋)) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋)))
10		simp1l 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
11	10	hllatd 40238	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simp3l 1220	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	2, 3	latasymb 18531	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
16	9, 15	bitrd 282	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
17	1, 16	bitrid 286	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  lecple 17350  Latclat 18520  HLchlt 40224  LHypclh 40858  DIsoBcdib 42012

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-riotaBAD 39827

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-undef 8272  df-map 8829  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-llines 40372  df-lplanes 40373  df-lvols 40374  df-lines 40375  df-psubsp 40377  df-pmap 40378  df-padd 40670  df-lhyp 40862  df-laut 40863  df-ldil 40978  df-ltrn 40979  df-trl 41033  df-disoa 41903  df-dib 42013

This theorem is used by:  dibf11N  42035