Theorem dib11N 41117

Description: The isomorphism B for a lattice 𝐾 is one-to-one in the region under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib11.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dib11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dib11N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dib11N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 4024	. 2 ⊢ ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘𝑌) ↔ ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋)))
2		dib11.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dib11.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		dib11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dib11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	dibord 41116	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 ≤ 𝑌))
7	2, 3, 4, 5	dibord 41116	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 𝑋))
8	7	3com23 1126	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 𝑋))
9	6, 8	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋)) ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋)))
10		simp1l 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
11	10	hllatd 39320	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simp2l 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simp3l 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	2, 3	latasymb 18512	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
16	9, 15	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑌) ⊆ (𝐼‘𝑋)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
17	1, 16	bitrid 283	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐼‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Latclat 18501  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DIsoBcdib 41095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-undef 8314  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-disoa 40986  df-dib 41096

This theorem is referenced by:  dibf11N  41118