Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib11N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dib11N 37738
Description: The isomorphism B for a lattice 𝐾 is one-to-one in the region under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dib11.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib11.l = (le‘𝐾)
dib11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib11.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dib11N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) = (𝐼𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dib11N
StepHypRef Expression
1 eqss 3874 . 2 ((𝐼𝑋) = (𝐼𝑌) ↔ ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ (𝐼𝑌) ⊆ (𝐼𝑋)))
2 dib11.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dib11.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 dib11.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dib11.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5dibord 37737 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ 𝑋 𝑌))
72, 3, 4, 5dibord 37737 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ((𝐼𝑌) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ 𝑌 𝑋))
873com23 1106 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑌) ⊆ (𝐼𝑋) ↔ 𝑌 𝑋))
96, 8anbi12d 621 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ (𝐼𝑌) ⊆ (𝐼𝑋)) ↔ (𝑋 𝑌𝑌 𝑋)))
10 simp1l 1177 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
1110hllatd 35942 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 simp2l 1179 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋𝐵)
13 simp3l 1181 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌𝐵)
142, 3latasymb 17522 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1351 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
169, 15bitrd 271 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ∧ (𝐼𝑌) ⊆ (𝐼𝑋)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
171, 16syl5bb 275 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) = (𝐼𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wss 3830   class class class wbr 4929  cfv 6188  Basecbs 16339  lecple 16428  Latclat 17513  HLchlt 35928  LHypclh 36562  DIsoBcdib 37716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-riotaBAD 35531
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-undef 7742  df-map 8208  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-p1 17508  df-lat 17514  df-clat 17576  df-oposet 35754  df-ol 35756  df-oml 35757  df-covers 35844  df-ats 35845  df-atl 35876  df-cvlat 35900  df-hlat 35929  df-llines 36076  df-lplanes 36077  df-lvols 36078  df-lines 36079  df-psubsp 36081  df-pmap 36082  df-padd 36374  df-lhyp 36566  df-laut 36567  df-ldil 36682  df-ltrn 36683  df-trl 36737  df-disoa 37607  df-dib 37717
This theorem is referenced by:  dibf11N  37739
  Copyright terms: Public domain W3C validator