Theorem latasymd 18534

Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3948 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latasymd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latasymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
latasymd.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
latasymd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
latasymd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
latasymd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latasymd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		latasymd.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
3		latasymd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		latasymd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		latasymd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		latasymd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		latasymd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8	6, 7	latasymb 18531	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
10	1, 2, 9	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  lecple 17350  Latclat 18520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-nul 5263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fv 6541  df-proset 18383  df-poset 18402  df-lat 18521

This theorem is used by:  latjidm  18551  latmidm  18563  latjass  18572  oldmm1  40091  olj01  40099  olm01  40110  cvlcvr1  40213  llnmlplnN  40413  2llnjaN  40440  2lplnja  40493  cdlema1N  40665  hlmod1i  40730  lautj  40967  lautm  40968  cdleme19a  41177  cdleme28b  41245  trljco  41614  dochvalr  42231