MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latasymd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latasymd 18402
Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3998 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latasymd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latasymd.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latasymd.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
latasymd.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
latasymd.6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
latasymd.7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
latasymd (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)

Proof of Theorem latasymd
StepHypRef Expression
1 latasymd.6 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
2 latasymd.7 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
3 latasymd.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 latasymd.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 latasymd.5 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 latasymd.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 latasymd.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
86, 7latasymb 18399 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
93, 4, 5, 8syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
101, 2, 9mpbi2and 708 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  Latclat 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-nul 5305
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fv 6550  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lat 18389
This theorem is referenced by:  latjidm  18419  latmidm  18431  latjass  18440  oldmm1  38390  olj01  38398  olm01  38409  cvlcvr1  38512  llnmlplnN  38713  2llnjaN  38740  2lplnja  38793  cdlema1N  38965  hlmod1i  39030  lautj  39267  lautm  39268  cdleme19a  39477  cdleme28b  39545  trljco  39914  dochvalr  40531
  Copyright terms: Public domain W3C validator