MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latasymd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latasymd 18402
Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3999 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latasymd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latasymd.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latasymd.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
latasymd.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
latasymd.6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
latasymd.7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
latasymd (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)

Proof of Theorem latasymd
StepHypRef Expression
1 latasymd.6 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
2 latasymd.7 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
3 latasymd.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 latasymd.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 latasymd.5 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 latasymd.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 latasymd.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
86, 7latasymb 18399 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
93, 4, 5, 8syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
101, 2, 9mpbi2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 = π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  Latclat 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fv 6551  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lat 18389
This theorem is referenced by:  latjidm  18419  latmidm  18431  latjass  18440  oldmm1  38390  olj01  38398  olm01  38409  cvlcvr1  38512  llnmlplnN  38713  2llnjaN  38740  2lplnja  38793  cdlema1N  38965  hlmod1i  39030  lautj  39267  lautm  39268  cdleme19a  39477  cdleme28b  39545  trljco  39914  dochvalr  40531
  Copyright terms: Public domain W3C validator