Theorem latasymd 18619

Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3948 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latasymd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latasymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
latasymd.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
latasymd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
latasymd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
latasymd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latasymd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		latasymd.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
3		latasymd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		latasymd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		latasymd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		latasymd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		latasymd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8	6, 7	latasymb 18616	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
10	1, 2, 9	mpbi2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  Latclat 18605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fv 6546  df-proset 18468  df-poset 18487  df-lat 18606

This theorem is used by:  latjidm  18636  latmidm  18648  latjass  18657  oldmm1  40274  olj01  40282  olm01  40293  cvlcvr1  40396  llnmlplnN  40596  2llnjaN  40623  2lplnja  40676  cdlema1N  40848  hlmod1i  40913  lautj  41150  lautm  41151  cdleme19a  41360  cdleme28b  41428  trljco  41797  dochvalr  42414