Theorem latasymd 18496

Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3954 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latasymd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latasymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
latasymd.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
latasymd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
latasymd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
latasymd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latasymd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		latasymd.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
3		latasymd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		latasymd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		latasymd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		latasymd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		latasymd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8	6, 7	latasymb 18493	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
10	1, 2, 9	mpbi2and 724	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  lecple 17312  Latclat 18482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5269

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fv 6544  df-proset 18345  df-poset 18364  df-lat 18483

This theorem is referenced by:  latjidm  18513  latmidm  18525  latjass  18534  oldmm1  39991  olj01  39999  olm01  40010  cvlcvr1  40113  llnmlplnN  40313  2llnjaN  40340  2lplnja  40393  cdlema1N  40565  hlmod1i  40630  lautj  40867  lautm  40868  cdleme19a  41077  cdleme28b  41145  trljco  41514  dochvalr  42131