Theorem latasymd 18368

Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3951 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latasymd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latasymd.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
latasymd.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
latasymd.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
latasymd.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
latasymd	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latasymd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		latasymd.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑋)
3		latasymd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		latasymd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		latasymd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		latasymd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		latasymd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8	6, 7	latasymb 18365	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
9	3, 4, 5, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
10	1, 2, 9	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  lecple 17184  Latclat 18354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-nul 5251

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500  df-proset 18217  df-poset 18236  df-lat 18355

This theorem is referenced by:  latjidm  18385  latmidm  18397  latjass  18406  oldmm1  39477  olj01  39485  olm01  39496  cvlcvr1  39599  llnmlplnN  39799  2llnjaN  39826  2lplnja  39879  cdlema1N  40051  hlmod1i  40116  lautj  40353  lautm  40354  cdleme19a  40563  cdleme28b  40631  trljco  41000  dochvalr  41617