MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latasymd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latasymd 18163
Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3938 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latasymd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l = (le‘𝐾)
latasymd.3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4 (𝜑𝑋𝐵)
latasymd.5 (𝜑𝑌𝐵)
latasymd.6 (𝜑𝑋 𝑌)
latasymd.7 (𝜑𝑌 𝑋)
Assertion
Ref Expression
latasymd (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd
StepHypRef Expression
1 latasymd.6 . 2 (𝜑𝑋 𝑌)
2 latasymd.7 . 2 (𝜑𝑌 𝑋)
3 latasymd.3 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 latasymd.4 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 latasymd.5 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 latasymd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 latasymd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
86, 7latasymb 18160 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
93, 4, 5, 8syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
101, 2, 9mpbi2and 709 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Latclat 18149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-nul 5230
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fv 6441  df-proset 18013  df-poset 18031  df-lat 18150
This theorem is referenced by:  latjidm  18180  latmidm  18192  latjass  18201  oldmm1  37231  olj01  37239  olm01  37250  cvlcvr1  37353  llnmlplnN  37553  2llnjaN  37580  2lplnja  37633  cdlema1N  37805  hlmod1i  37870  lautj  38107  lautm  38108  cdleme19a  38317  cdleme28b  38385  trljco  38754  dochvalr  39371
  Copyright terms: Public domain W3C validator