MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latasymd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latasymd 17796
Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3904 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latasymd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l = (le‘𝐾)
latasymd.3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4 (𝜑𝑋𝐵)
latasymd.5 (𝜑𝑌𝐵)
latasymd.6 (𝜑𝑋 𝑌)
latasymd.7 (𝜑𝑌 𝑋)
Assertion
Ref Expression
latasymd (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd
StepHypRef Expression
1 latasymd.6 . 2 (𝜑𝑋 𝑌)
2 latasymd.7 . 2 (𝜑𝑌 𝑋)
3 latasymd.3 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 latasymd.4 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 latasymd.5 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 latasymd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 latasymd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
86, 7latasymb 17793 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
93, 4, 5, 8syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
101, 2, 9mpbi2and 712 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5040  cfv 6350  Basecbs 16599  lecple 16688  Latclat 17784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-nul 5184
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-xp 5541  df-dm 5545  df-iota 6308  df-fv 6358  df-proset 17667  df-poset 17685  df-lat 17785
This theorem is referenced by:  latjidm  17813  latmidm  17825  latjass  17834  oldmm1  36887  olj01  36895  olm01  36906  cvlcvr1  37009  llnmlplnN  37209  2llnjaN  37236  2lplnja  37289  cdlema1N  37461  hlmod1i  37526  lautj  37763  lautm  37764  cdleme19a  37973  cdleme28b  38041  trljco  38410  dochvalr  39027
  Copyright terms: Public domain W3C validator