MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latasymd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latasymd 18503
Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 4013 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latasymd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l = (le‘𝐾)
latasymd.3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4 (𝜑𝑋𝐵)
latasymd.5 (𝜑𝑌𝐵)
latasymd.6 (𝜑𝑋 𝑌)
latasymd.7 (𝜑𝑌 𝑋)
Assertion
Ref Expression
latasymd (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd
StepHypRef Expression
1 latasymd.6 . 2 (𝜑𝑋 𝑌)
2 latasymd.7 . 2 (𝜑𝑌 𝑋)
3 latasymd.3 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 latasymd.4 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 latasymd.5 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 latasymd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 latasymd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
86, 7latasymb 18500 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
93, 4, 5, 8syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
101, 2, 9mpbi2and 712 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Latclat 18489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fv 6571  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lat 18490
This theorem is referenced by:  latjidm  18520  latmidm  18532  latjass  18541  oldmm1  39199  olj01  39207  olm01  39218  cvlcvr1  39321  llnmlplnN  39522  2llnjaN  39549  2lplnja  39602  cdlema1N  39774  hlmod1i  39839  lautj  40076  lautm  40077  cdleme19a  40286  cdleme28b  40354  trljco  40723  dochvalr  41340
  Copyright terms: Public domain W3C validator