Theorem lbsel 21034

Description: An element of a basis is a vector. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsel	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lbsel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbsss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lbsss.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	lbsss 21033	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	sselda 3934	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  LBasisclbs 21030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-lbs 21031

This theorem is referenced by:  lbsind2  21037