Theorem lbsind2 21080

Description: A basis is linearly independent; that is, every element is not in the span of the remainder of the basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsind2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lbsind2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lbsind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lbsind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1138	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)
3		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ 𝐵)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		lbsind2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbsel 21077	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
8		lbsind2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		lbsind2.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
11	4, 8, 9, 10	lmodvs1 20888	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) = 𝐸)
12	1, 7, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) = 𝐸)
13	8	lmodring 20866	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
15	14, 10	ringidcl 20262	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐹))
16	1, 13, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
17		simp1r 1199	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 1 ≠ 0 )
18		lbsind2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
19		lbsind2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
20	4, 5, 18, 8, 9, 14, 19	lbsind 21079	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ≠ 0 )) → ¬ ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
21	2, 3, 16, 17, 20	syl22anc 839	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
22	12, 21	eqneltrrd 2862	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lbs 21074

This theorem is referenced by:  lbspss  21081  islbs2  21156  dimlssid  33683