Theorem lbsind2 21076

Description: A basis is linearly independent; that is, every element is not in the span of the remainder of the basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsind2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lbsind2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lbsind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lbsind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1138	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)
3		simp3 1139	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ 𝐵)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		lbsind2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbsel 21073	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
8		lbsind2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		lbsind2.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
11	4, 8, 9, 10	lmodvs1 20885	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) = 𝐸)
12	1, 7, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) = 𝐸)
13	8	lmodring 20863	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
15	14, 10	ringidcl 20246	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐹))
16	1, 13, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
17		simp1r 1200	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 1 ≠ 0 )
18		lbsind2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
19		lbsind2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
20	4, 5, 18, 8, 9, 14, 19	lbsind 21075	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ≠ 0 )) → ¬ ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
21	2, 3, 16, 17, 20	syl22anc 839	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
22	12, 21	eqneltrrd 2857	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  LModclmod 20855  LSpanclspn 20966  LBasisclbs 21069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lbs 21070

This theorem is referenced by:  lbspss  21077  islbs2  21152  dimlssid  33776