Theorem lbsind2 21078

Description: A basis is linearly independent; that is, every element is not in the span of the remainder of the basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsind2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lbsind2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lbsind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lbsind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1204	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1143	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)
3		simp3 1144	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ 𝐵)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		lbsind2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbsel 21075	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
7	2, 3, 6	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
8		lbsind2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		lbsind2.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
11	4, 8, 9, 10	lmodvs1 20887	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) = 𝐸)
12	1, 7, 11	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) = 𝐸)
13	8	lmodring 20865	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
14		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
15	14, 10	ringidcl 20244	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐹))
16	1, 13, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
17		simp1r 1205	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 1 ≠ 0 )
18		lbsind2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
19		lbsind2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
20	4, 5, 18, 8, 9, 14, 19	lbsind 21077	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ≠ 0 )) → ¬ ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
21	2, 3, 16, 17, 20	syl22anc 844	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
22	12, 21	eqneltrrd 2861	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3887  {csn 4562  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  LModclmod 20857  LSpanclspn 20968  LBasisclbs 21071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214  df-lmod 20859  df-lbs 21072

This theorem is referenced by:  lbspss  21079  islbs2  21154  dimlssid  33823