Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsind2 19828
 Description: A basis is linearly independent; that is, every element is not in the span of the remainder of the basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsind2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o 1 = (1r𝐹)
lbsind2.z 0 = (0g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lbsind2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lbsind2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1134 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → 𝐵𝐽)
3 simp3 1135 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → 𝐸𝐵)
4 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5 lbsind2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
64, 5lbsel 19825 . . . 4 ((𝐵𝐽𝐸𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
72, 3, 6syl2anc 587 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
8 lbsind2.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9 eqid 2821 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
10 lbsind2.o . . . 4 1 = (1r𝐹)
114, 8, 9, 10lmodvs1 19637 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 1 ( ·𝑠𝑊)𝐸) = 𝐸)
121, 7, 11syl2anc 587 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → ( 1 ( ·𝑠𝑊)𝐸) = 𝐸)
138lmodring 19617 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
14 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1514, 10ringidcl 19296 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐹))
161, 13, 153syl 18 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
17 simp1r 1195 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → 10 )
18 lbsind2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
19 lbsind2.z . . . 4 0 = (0g𝐹)
204, 5, 18, 8, 9, 14, 19lbsind 19827 . . 3 (((𝐵𝐽𝐸𝐵) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 10 )) → ¬ ( 1 ( ·𝑠𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
212, 3, 16, 17, 20syl22anc 837 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → ¬ ( 1 ( ·𝑠𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
2212, 21eqneltrrd 2932 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐸𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007   ∖ cdif 3907  {csn 4540  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  Scalarcsca 16546   ·𝑠 cvsca 16547  0gc0g 16691  1rcur 19229  Ringcrg 19275  LModclmod 19609  LSpanclspn 19718  LBasisclbs 19821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-plusg 16556  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-lmod 19611  df-lbs 19822 This theorem is referenced by:  lbspss  19829  islbs2  19901
 Copyright terms: Public domain W3C validator