Theorem lbsind2 21017

Description: A basis is linearly independent; that is, every element is not in the span of the remainder of the basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsind2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lbsind2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lbsind2	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))

Proof of Theorem lbsind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)
3		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ 𝐵)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		lbsind2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbsel 21014	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (Base‘𝑊))
8		lbsind2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		lbsind2.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
11	4, 8, 9, 10	lmodvs1 20825	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ (Base‘𝑊)) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) = 𝐸)
12	1, 7, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) = 𝐸)
13	8	lmodring 20803	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
14		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
15	14, 10	ringidcl 20185	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐹))
16	1, 13, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
17		simp1r 1199	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 1 ≠ 0 )
18		lbsind2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
19		lbsind2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
20	4, 5, 18, 8, 9, 14, 19	lbsind 21016	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ≠ 0 )) → ¬ ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
21	2, 3, 16, 17, 20	syl22anc 838	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝐸) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))
22	12, 21	eqneltrrd 2854	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝐸})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895  {csn 4575  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  Scalarcsca 17166   ·_𝑠 cvsca 17167  0_gc0g 17345  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  LModclmod 20795  LSpanclspn 20906  LBasisclbs 21010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-lmod 20797  df-lbs 21011

This theorem is referenced by:  lbspss  21018  islbs2  21093  dimlssid  33666