Theorem lbsss 21072

Description: A basis is a set of vectors. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsss	⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lbsss

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6874	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (LBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LBasis)
2		lbsss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2854	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝑊 ∈ dom LBasis)
4		lbsss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	4, 5, 6, 7, 2, 8, 9	islbs 21071	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LBasis → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
12	11	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
13	12	simp1d 1143	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  {csn 4567  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  LSpanclspn 20966  LBasisclbs 21069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-lbs 21070

This theorem is referenced by:  lbsel  21073  lbspss  21077  islbs2  21152  islbs3  21153  lmimlbs  21816  lbslsp  33437  lmimdim  33748  lvecdim0  33751  lssdimle  33752  lbsdiflsp0  33770  dimkerim  33771  fedgmullem1  33773  fedgmullem2  33774  fedgmul  33775  dimlssid  33776  extdg1id  33810  fldextrspunlsplem  33817  fldextrspunlsp  33818  fldextrspunlem1  33819