MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsss 21094
Description: A basis is a set of vectors. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsss (𝐵𝐽𝐵𝑉)

Proof of Theorem lbsss
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6944 . . . . 5 (𝐵 ∈ (LBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LBasis)
2 lbsss.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2eleq2s 2857 . . . 4 (𝐵𝐽𝑊 ∈ dom LBasis)
4 lbsss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2735 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2735 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
7 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8 eqid 2735 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
9 eqid 2735 . . . . 5 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
104, 5, 6, 7, 2, 8, 9islbs 21093 . . . 4 (𝑊 ∈ dom LBasis → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
113, 10syl 17 . . 3 (𝐵𝐽 → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
1211ibi 267 . 2 (𝐵𝐽 → (𝐵𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
1312simp1d 1141 1 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  LSpanclspn 20987  LBasisclbs 21091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-lbs 21092
This theorem is referenced by:  lbsel  21095  lbspss  21099  islbs2  21174  islbs3  21175  lmimlbs  21874  lbslsp  33385  lmimdim  33631  lvecdim0  33634  lssdimle  33635  lbsdiflsp0  33654  dimkerim  33655  fedgmullem1  33657  fedgmullem2  33658  fedgmul  33659  dimlssid  33660  extdg1id  33691
  Copyright terms: Public domain W3C validator