Theorem lbsss 20534

Description: A basis is a set of vectors. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbsss	⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lbsss

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6877	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (LBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LBasis)
2		lbsss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2856	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝑊 ∈ dom LBasis)
4		lbsss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	4, 5, 6, 7, 2, 8, 9	islbs 20533	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LBasis → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
12	11	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
13	12	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3063   ∖ cdif 3906   ⊆ wss 3909  {csn 4585  dom cdm 5632  ‘cfv 6494  (class class class)co 7354  Basecbs 17080  Scalarcsca 17133   ·_𝑠 cvsca 17134  0_gc0g 17318  LSpanclspn 20428  LBasisclbs 20531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fv 6502  df-ov 7357  df-lbs 20532

This theorem is referenced by:  lbsel  20535  lbspss  20539  islbs2  20611  islbs3  20612  lmimlbs  21238  lbslsp  32060  lvecdim0  32195  lssdimle  32196  lbsdiflsp0  32212  dimkerim  32213  fedgmullem1  32215  fedgmullem2  32216  fedgmul  32217  extdg1id  32243