MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsss 21076
Description: A basis is a set of vectors. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsss (𝐵𝐽𝐵𝑉)

Proof of Theorem lbsss
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6943 . . . . 5 (𝐵 ∈ (LBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LBasis)
2 lbsss.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2eleq2s 2859 . . . 4 (𝐵𝐽𝑊 ∈ dom LBasis)
4 lbsss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
7 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8 eqid 2737 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
9 eqid 2737 . . . . 5 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
104, 5, 6, 7, 2, 8, 9islbs 21075 . . . 4 (𝑊 ∈ dom LBasis → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
113, 10syl 17 . . 3 (𝐵𝐽 → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
1211ibi 267 . 2 (𝐵𝐽 → (𝐵𝑉 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
1312simp1d 1143 1 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-lbs 21074
This theorem is referenced by:  lbsel  21077  lbspss  21081  islbs2  21156  islbs3  21157  lmimlbs  21856  lbslsp  33405  lmimdim  33654  lvecdim0  33657  lssdimle  33658  lbsdiflsp0  33677  dimkerim  33678  fedgmullem1  33680  fedgmullem2  33681  fedgmul  33682  dimlssid  33683  extdg1id  33716  fldextrspunlsplem  33723  fldextrspunlsp  33724  fldextrspunlem1  33725
  Copyright terms: Public domain W3C validator