MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbssp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbssp 21078
Description: The span of a basis is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbssp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbssp (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)

Proof of Theorem lbssp
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6943 . . . . 5 (𝐵 ∈ (LBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LBasis)
2 lbsss.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2eleq2s 2859 . . . 4 (𝐵𝐽𝑊 ∈ dom LBasis)
4 lbsss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
7 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8 lbssp.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9 eqid 2737 . . . . 5 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
104, 5, 6, 7, 2, 8, 9islbs 21075 . . . 4 (𝑊 ∈ dom LBasis → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
113, 10syl 17 . . 3 (𝐵𝐽 → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
1211ibi 267 . 2 (𝐵𝐽 → (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
1312simp2d 1144 1 (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-lbs 21074
This theorem is referenced by:  islbs2  21156  islbs3  21157  frlmup3  21820  frlmup4  21821  lmimlbs  21856  lbslcic  21861  lbslsp  33405  lvecdim0i  33656  dimkerim  33678  dimlssid  33683  fldextrspunlsplem  33723  lindsdom  37621  matunitlindflem2  37624  aacllem  49320
  Copyright terms: Public domain W3C validator