Theorem lbssp 21124

Description: The span of a basis is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbssp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbssp	⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)

Proof of Theorem lbssp

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (LBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LBasis)
2		lbsss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2879	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝑊 ∈ dom LBasis)
4		lbsss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		lbssp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	4, 5, 6, 7, 2, 8, 9	islbs 21121	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LBasis → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
12	11	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
13	12	simp2d 1155	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4581  dom cdm 5645  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17226  Scalarcsca 17270   ·_𝑠 cvsca 17271  0_gc0g 17449  LSpanclspn 21016  LBasisclbs 21119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523  df-ov 7393  df-lbs 21120

This theorem is referenced by:  islbs2  21202  islbs3  21203  frlmup3  21830  frlmup4  21831  lmimlbs  21866  lbslcic  21871  lbslsp  33522  lvecdim0i  33862  dimkerim  33883  dimlssid  33888  fldextrspunlsplem  33929  lindsdom  38066  matunitlindflem2  38069  aacllem  50375