Theorem lbssp 20256

Description: The span of a basis is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbssp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbssp	⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)

Proof of Theorem lbssp

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6788	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (LBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LBasis)
2		lbsss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝑊 ∈ dom LBasis)
4		lbsss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		lbssp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	4, 5, 6, 7, 2, 8, 9	islbs 20253	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LBasis → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
12	11	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
13	12	simp2d 1141	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LSpanclspn 20148  LBasisclbs 20251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-lbs 20252

This theorem is referenced by:  islbs2  20331  islbs3  20332  frlmup3  20917  frlmup4  20918  lmimlbs  20953  lbslcic  20958  lbslsp  31474  lvecdim0i  31591  dimkerim  31610  lindsdom  35698  matunitlindflem2  35701  aacllem  46391