Theorem lbssp 21148

Description: The span of a basis is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbssp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbssp	⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)

Proof of Theorem lbssp

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (LBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LBasis)
2		lbsss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	eleq2s 2882	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝑊 ∈ dom LBasis)
4		lbsss.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8		lbssp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	4, 5, 6, 7, 2, 8, 9	islbs 21145	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ dom LBasis → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
12	11	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
13	12	simp2d 1157	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4584  dom cdm 5649  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  Scalarcsca 17291   ·_𝑠 cvsca 17292  0_gc0g 17470  LSpanclspn 21040  LBasisclbs 21143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fv 6531  df-ov 7401  df-lbs 21144

This theorem is referenced by:  islbs2  21226  islbs3  21227  frlmup3  21854  frlmup4  21855  lmimlbs  21890  lbslcic  21895  lbslsp  33565  lvecdim0i  33905  dimkerim  33926  dimlssid  33931  fldextrspunlsplem  33972  lindsdom  38118  matunitlindflem2  38121  aacllem  50427