Theorem lenlts 27720

Description: Surreal less-than or equal in terms of less-than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lenlts	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))

Proof of Theorem lenlts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-les 27713	. . . 4 ⊢ ≤s = (( No × No ) ∖ ◡ <s )
2	1	breqi 5104	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ 𝐴(( No × No ) ∖ ◡ <s )𝐵)
3		brdif 5151	. . 3 ⊢ (𝐴(( No × No ) ∖ ◡ <s )𝐵 ↔ (𝐴( No × No )𝐵 ∧ ¬ 𝐴◡ <s 𝐵))
4		brxp 5673	. . . 4 ⊢ (𝐴( No × No )𝐵 ↔ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ))
5	4	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((𝐴( No × No )𝐵 ∧ ¬ 𝐴◡ <s 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴◡ <s 𝐵))
6	2, 3, 5	3bitri 297	. 2 ⊢ (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴◡ <s 𝐵))
7		ibar 528	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (¬ 𝐴◡ <s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴◡ <s 𝐵)))
8		brcnvg 5828	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴◡ <s 𝐵 ↔ 𝐵 <s 𝐴))
9	8	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (¬ 𝐴◡ <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
10	7, 9	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ¬ 𝐴◡ <s 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
11	6, 10	bitrid 283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   class class class wbr 5098   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623   No csur 27607   <s clts 27608   ≤s cles 27712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-les 27713

This theorem is referenced by:  ltnles  27721  lesloe  27722  lestri3  27723  lesnltd  27724  ltlestr  27728  leltstr  27729  lestr  27730  lesid  27735  lestric  27736  ltlesd  27741  ltsrec  27797  ltslpss  27904  cofcutr  27920  lenegs  28042  lesubsubsbd  28082  lesubsubs2bd  28083  lesubsubs3bd  28084  lesubaddsd  28089  lemuls2d  28170  lemuls1d  28171  ltonold  28257  oncutlt  28260  onnolt  28262  onles  28264  om2noseqlt2  28296  n0fincut  28351  bdaypw2n0bndlem  28459  bdaypw2bnd  28461  bdayfinbndlem1  28463  z12bdaylem1  28466