Theorem lestri3 28142

Description: Trichotomy law for surreal less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lestri3	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))

Proof of Theorem lestri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltstrieq2 28137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 <s 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 <s 𝐴)))
2		lenlts 28139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
3		lenlts 28139	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
4	3	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
5	2, 4	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 <s 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 <s 𝐵)))
6		ancom 466	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐵 <s 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 <s 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
7	5, 6	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 <s 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 <s 𝐴)))
8	1, 7	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  Nocsur 28027   <s clts 28028   ≤s cles 28131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-les 28132

This theorem is used by:  lestri3d  28146  eqcuts3  28220  addscan2  28409  mulscan2dlem  28594  n0subs  28779  n0lts1e0  28784  zsoring  28825  twocut  28839  bdaypw2n0bndlem  28879  z12bdaylem1  28886