Theorem lestric 27757

Description: Surreal trichotomy law. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lestric	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))

Proof of Theorem lestric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsasym 27737	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
2		ltnles 27742	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵))
3	2	bicomd 224	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 ↔ 𝐵 <s 𝐴))
4		lenlts 27741	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
5	1, 3, 4	3imtr4d 295	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐵 ≤s 𝐴))
6	5	orrd 869	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
7	6	ancoms 459	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079   No csur 27628   <s clts 27629   ≤s cles 27733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632  df-les 27734

This theorem is referenced by:  maxs2  27759  mins1  27760  absmuls  28261  abssge0  28262  absnegs  28264  leabss  28265  elzn0s  28415  zsoring  28426  bdayfinbndlem1  28484  z12bday  28502  bdayfin  28504