Theorem lestric 27802

Description: Surreal trichotomy law. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lestric	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))

Proof of Theorem lestric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsasym 27782	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
2		ltnles 27787	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵))
3	2	bicomd 225	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 ↔ 𝐵 <s 𝐴))
4		lenlts 27786	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
5	1, 3, 4	3imtr4d 296	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐵 ≤s 𝐴))
6	5	orrd 872	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
7	6	ancoms 461	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094   No csur 27674   <s clts 27675   ≤s cles 27778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-fv 6518  df-1o 8425  df-2o 8426  df-no 27677  df-lts 27678  df-les 27779

This theorem is referenced by:  maxs2  27804  mins1  27805  absmuls  28307  abssge0  28308  absnegs  28310  leabss  28311  elzn0s  28461  zsoring  28472  bdayfinbndlem1  28530  z12bday  28548  bdayfin  28550