Theorem lestric 28107

Description: Surreal trichotomy law. (Contributed by Scott Fenton, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lestric	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))

Proof of Theorem lestric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsasym 28087	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
2		ltnles 28092	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤s 𝐵))
3	2	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 ↔ 𝐵 <s 𝐴))
4		lenlts 28091	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
5	1, 3, 4	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (¬ 𝐴 ≤s 𝐵 → 𝐵 ≤s 𝐴))
6	5	orrd 877	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))
7	6	ancoms 464	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ∨ 𝐵 ≤s 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   No csur 27979   <s clts 27980   ≤s cles 28083

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-1o 8460  df-2o 8461  df-no 27982  df-lts 27983  df-les 28084

This theorem is used by:  maxs2  28109  mins1  28110  absmuls  28612  abssge0  28613  absnegs  28615  leabss  28616  elzn0s  28766  zsoring  28777  bdayfinbndlem1  28835  z12bday  28853  bdayfin  28855