Theorem lenegs 28462

Description: Negative of both sides of surreal less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lenegs	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( -s‘𝐵) ≤s ( -s‘𝐴)))

Proof of Theorem lenegs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnegs 28461	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( -s‘𝐴) <s ( -s‘𝐵)))
2	1	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( -s‘𝐴) <s ( -s‘𝐵)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ ( -s‘𝐴) <s ( -s‘𝐵)))
4		lenlts 28139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
5		negscl 28452	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -s‘𝐵) ∈ No)
6		negscl 28452	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) ∈ No)
7		lenlts 28139	. . 3 ⊢ ((( -s‘𝐵) ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ No) → (( -s‘𝐵) ≤s ( -s‘𝐴) ↔ ¬ ( -s‘𝐴) <s ( -s‘𝐵)))
8	5, 6, 7	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (( -s‘𝐵) ≤s ( -s‘𝐴) ↔ ¬ ( -s‘𝐴) <s ( -s‘𝐵)))
9	3, 4, 8	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( -s‘𝐵) ≤s ( -s‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  Nocsur 28027   <s clts 28028   ≤s cles 28131   -_scnegs 28435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437

This theorem is used by:  lenegsd  28464  z12bday  28901  bdayfin  28903