Theorem lesubaddsd 28358

Description: Surreal less-than or equal relationship between subtraction and addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubadds.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltsubadds.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltsubadds.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
lesubaddsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ 𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadds.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		ltsubadds.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		ltsubadds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4	1, 2, 3	ltaddsubsd 28356	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴 ↔ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
5	4	notbid 321	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
6	1, 2	addscld 28245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐵) ∈ No )
7		lenlts 27988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ (𝐶 +s 𝐵) ∈ No ) → (𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴))
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴))
9	3, 2	subscld 28328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
10		lenlts 27988	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
11	9, 1, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
12	5, 8, 11	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ 𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413   No csur 27876   <s clts 27877   ≤s cles 27980   +_s cadds 28224   -_s csubs 28285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-1o 8455  df-2o 8456  df-nadd 8654  df-no 27879  df-lts 27880  df-bday 27881  df-les 27981  df-slts 28023  df-cuts 28025  df-0s 28072  df-made 28092  df-old 28093  df-left 28095  df-right 28096  df-norec 28203  df-norec2 28214  df-adds 28225  df-negs 28286  df-subs 28287

This theorem is used by:  n0subs  28628