Theorem lesubaddsd 28472

Description: Surreal less-than or equal relationship between subtraction and addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubadds.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltsubadds.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltsubadds.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
lesubaddsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ 𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadds.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		ltsubadds.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		ltsubadds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4	1, 2, 3	ltaddsubsd 28470	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴 ↔ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
5	4	notbid 321	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
6	1, 2	addscld 28359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐵) ∈ No )
7		lenlts 28102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ (𝐶 +s 𝐵) ∈ No ) → (𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴))
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴))
9	3, 2	subscld 28442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
10		lenlts 28102	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
11	9, 1, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
12	5, 8, 11	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ 𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418   No csur 27990   <s clts 27991   ≤s cles 28094   +_s cadds 28338   -_s csubs 28399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-1o 8469  df-2o 8470  df-nadd 8668  df-no 27993  df-lts 27994  df-bday 27995  df-les 28095  df-slts 28137  df-cuts 28139  df-0s 28186  df-made 28206  df-old 28207  df-left 28209  df-right 28210  df-norec 28317  df-norec2 28328  df-adds 28339  df-negs 28400  df-subs 28401

This theorem is used by:  n0subs  28742