Theorem lesubaddsd 28525

Description: Surreal less-than or equal relationship between subtraction and addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubadds.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
ltsubadds.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
ltsubadds.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
lesubaddsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ 𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadds.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
2		ltsubadds.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3		ltsubadds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
4	1, 2, 3	ltaddsubsd 28523	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴 ↔ 𝐶 <s (𝐴 −s 𝐵)))
5	4	notbid 321	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 −s 𝐵)))
6	1, 2	addscld 28412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐵) ∈ No)
7		lenlts 28155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ (𝐶 +s 𝐵) ∈ No) → (𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴))
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴))
9	3, 2	subscld 28495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) ∈ No)
10		lenlts 28155	. . 3 ⊢ (((𝐴 −s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 −s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 −s 𝐵)))
11	9, 1, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 −s 𝐵)))
12	5, 8, 11	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ 𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449  Nocsur 28043   <s clts 28044   ≤s cles 28147   +_s cadds 28391   −_s csubs 28452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-1o 8512  df-2o 8513  df-nadd 8711  df-no 28046  df-lts 28047  df-bday 28048  df-les 28148  df-slts 28190  df-cuts 28192  df-0s 28239  df-made 28259  df-old 28260  df-left 28262  df-right 28263  df-norec 28370  df-norec2 28381  df-adds 28392  df-negs 28453  df-subs 28454

This theorem is used by:  n0subs  28795