Theorem lesubaddsd 28315

Description: Surreal less-than or equal relationship between subtraction and addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubadds.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltsubadds.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltsubadds.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
lesubaddsd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ 𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadds.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		ltsubadds.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		ltsubadds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4	1, 2, 3	ltaddsubsd 28313	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴 ↔ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
5	4	notbid 321	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
6	1, 2	addscld 28202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐵) ∈ No )
7		lenlts 27945	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ (𝐶 +s 𝐵) ∈ No ) → (𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴))
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +s 𝐵) <s 𝐴))
9	3, 2	subscld 28285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
10		lenlts 27945	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
11	9, 1, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s (𝐴 -s 𝐵)))
12	5, 8, 11	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s 𝐶 ↔ 𝐴 ≤s (𝐶 +s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416   No csur 27833   <s clts 27834   ≤s cles 27937   +_s cadds 28181   -_s csubs 28242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-1o 8455  df-2o 8456  df-nadd 8654  df-no 27836  df-lts 27837  df-bday 27838  df-les 27938  df-slts 27980  df-cuts 27982  df-0s 28029  df-made 28049  df-old 28050  df-left 28052  df-right 28053  df-norec 28160  df-norec2 28171  df-adds 28182  df-negs 28243  df-subs 28244

This theorem is used by:  n0subs  28585