Theorem lemuls1d 28183

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmuls12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltmuls12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltmuls12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltmuls12d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lemuls1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem lemuls1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmuls12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		ltmuls12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		ltmuls12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		ltmuls12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	ltmuls1d 28181	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 <s 𝐴 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
6	5	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
7		lenlts 27732	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	2, 1, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	2, 3	mulscld 28143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
10	1, 3	mulscld 28143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
11		lenlts 27732	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No ) → ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
13	6, 8, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368   No csur 27619   <s clts 27620   ≤s cles 27724   0_s c0s 27813   ·_s cmuls 28114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-1o 8407  df-2o 8408  df-nadd 8604  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-les 27725  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-0s 27815  df-made 27835  df-old 27836  df-left 27838  df-right 27839  df-norec 27946  df-norec2 27957  df-adds 27968  df-negs 28029  df-subs 28030  df-muls 28115

This theorem is referenced by:  mulscan2dlem  28186  lemuls1ad  28190