Theorem lemuls2d 28542

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmuls12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltmuls12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltmuls12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltmuls12d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lemuls2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem lemuls2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmuls12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		ltmuls12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		ltmuls12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		ltmuls12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	ltmuls2d 28540	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 <s 𝐴 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
6	5	notbid 321	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
7		lenlts 28091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	2, 1, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	3, 2	mulscld 28503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s 𝐴) ∈ No )
10	3, 1	mulscld 28503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s 𝐵) ∈ No )
11		lenlts 28091	. . 3 ⊢ (((𝐶 ·s 𝐴) ∈ No ∧ (𝐶 ·s 𝐵) ∈ No ) → ((𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
13	6, 8, 12	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412   No csur 27979   <s clts 27980   ≤s cles 28083   0_s c0s 28173   ·_s cmuls 28474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8460  df-2o 8461  df-nadd 8659  df-no 27982  df-lts 27983  df-bday 27984  df-les 28084  df-slts 28126  df-cuts 28128  df-0s 28175  df-made 28195  df-old 28196  df-left 28198  df-right 28199  df-norec 28306  df-norec2 28317  df-adds 28328  df-negs 28389  df-subs 28390  df-muls 28475

This theorem is used by:  pw2ge0divsd  28814  bdaypw2n0bndlem  28831  bdayfinbndlem1  28835  z12bdaylem1  28838