Theorem lemuls2d 28565

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than or equal by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmuls12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
ltmuls12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
ltmuls12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
ltmuls12d.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lemuls2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵)))

Proof of Theorem lemuls2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmuls12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
2		ltmuls12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
3		ltmuls12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
4		ltmuls12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	ltmuls2d 28563	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 <s 𝐴 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
6	5	notbid 321	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
7		lenlts 28114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	2, 1, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	3, 2	mulscld 28526	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s 𝐴) ∈ No)
10	3, 1	mulscld 28526	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s 𝐵) ∈ No)
11		lenlts 28114	. . 3 ⊢ (((𝐶 ·s 𝐴) ∈ No ∧ (𝐶 ·s 𝐵) ∈ No) → ((𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
13	6, 8, 12	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) ≤s (𝐶 ·s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   <s clts 28003   ≤s cles 28106   0_s c0s 28196   ·_s cmuls 28497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-1o 8479  df-2o 8480  df-nadd 8678  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-les 28107  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221  df-right 28222  df-norec 28329  df-norec2 28340  df-adds 28351  df-negs 28412  df-subs 28413  df-muls 28498

This theorem is used by:  pw2ge0divsd  28837  bdaypw2n0bndlem  28854  bdayfinbndlem1  28858  z12bdaylem1  28861