Theorem onles 28442

Description: Less-than or equal is the same as non-strict birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
onles	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵)))

Proof of Theorem onles

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onlts 28441	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Ons ∧ 𝐴 ∈ Ons) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
2	1	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
4		onno 28429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
5		onno 28429	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No )
6		lenlts 27897	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8		bdayon 27926	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On
9		bdayon 27926	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
10		ontri1 6397	. . . 4 ⊢ ((( bday ‘𝐴) ∈ On ∧ ( bday ‘𝐵) ∈ On) → (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . 3 ⊢ (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
13	3, 7, 12	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  Oncon0 6362  ‘cfv 6538   No csur 27785   <s clts 27786   bday cbday 27787   ≤s cles 27889  On_scons 28425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27788  df-lts 27789  df-bday 27790  df-les 27890  df-slts 27932  df-cuts 27934  df-made 28001  df-old 28002  df-left 28004  df-right 28005  df-ons 28426

This theorem is referenced by:  onlesd  28444