Theorem onles 28498

Description: Less-than or equal is the same as non-strict birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
onles	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵)))

Proof of Theorem onles

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onlts 28497	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Ons ∧ 𝐴 ∈ Ons) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
2	1	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
4		onno 28485	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
5		onno 28485	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No )
6		lenlts 27953	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8		bdayon 27982	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On
9		bdayon 27982	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
10		ontri1 6402	. . . 4 ⊢ ((( bday ‘𝐴) ∈ On ∧ ( bday ‘𝐵) ∈ On) → (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . 3 ⊢ (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
13	3, 7, 12	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  Oncon0 6367  ‘cfv 6543   No csur 27841   <s clts 27842   bday cbday 27843   ≤s cles 27945  On_scons 28481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27844  df-lts 27845  df-bday 27846  df-les 27946  df-slts 27988  df-cuts 27990  df-made 28057  df-old 28058  df-left 28060  df-right 28061  df-ons 28482

This theorem is used by:  onlesd  28500