Theorem onles 28419

Description: Less-than or equal is the same as non-strict birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
onles	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵)))

Proof of Theorem onles

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onlts 28418	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Ons ∧ 𝐴 ∈ Ons) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
2	1	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
4		onno 28406	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
5		onno 28406	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No )
6		lenlts 27874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8		bdayon 27903	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On
9		bdayon 27903	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
10		ontri1 6384	. . . 4 ⊢ ((( bday ‘𝐴) ∈ On ∧ ( bday ‘𝐵) ∈ On) → (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . 3 ⊢ (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
13	3, 7, 12	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  Oncon0 6350  ‘cfv 6525   No csur 27762   <s clts 27763   bday cbday 27764   ≤s cles 27866  On_scons 28402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-1o 8441  df-2o 8442  df-no 27765  df-lts 27766  df-bday 27767  df-les 27867  df-slts 27909  df-cuts 27911  df-made 27978  df-old 27979  df-left 27981  df-right 27982  df-ons 28403

This theorem is referenced by:  onlesd  28421