Theorem ltlesd 27751

Description: Surreal less-than implies less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltlesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltlesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltlesd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Proof of Theorem ltlesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlesd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltlesd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ))
4		ltlesd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
5		ltsasym 27726	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))
6	3, 4, 5	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 <s 𝐴)
7		lenlts 27730	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	1, 2, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	6, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   No csur 27617   <s clts 27618   ≤s cles 27722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-1o 8398  df-2o 8399  df-no 27620  df-lts 27621  df-les 27723

This theorem is referenced by:  ltlesnd  27753  lemulsd  28144  mulsge0d  28152  mulsuniflem  28155  ltmuls12ad  28189  ltonold  28267  oncutlt  28270  onnolt  28272  n0sge0  28344  uzsind  28411  halfcut  28464  bdaypw2n0bndlem  28469  bdayfinbndlem1  28473  elreno2  28501  1reno  28503