Theorem ltlesd 27915

Description: Surreal less-than implies less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltlesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltlesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltlesd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Proof of Theorem ltlesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlesd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltlesd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ))
4		ltlesd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
5		ltsasym 27890	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))
6	3, 4, 5	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 <s 𝐴)
7		lenlts 27894	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	1, 2, 7	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	6, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110   No csur 27782   <s clts 27783   ≤s cles 27886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27785  df-lts 27786  df-les 27887

This theorem is referenced by:  ltlesnd  27917  lemulsd  28309  mulsge0d  28317  mulsuniflem  28320  ltmuls12ad  28354  ltonold  28432  oncutlt  28435  onnolt  28437  n0sge0  28509  uzsind  28576  halfcut  28629  bdaypw2n0bndlem  28634  bdayfinbndlem1  28638  elreno2  28666  1reno  28668