Theorem ltlesd 27753

Description: Surreal less-than implies less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltlesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltlesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltlesd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Proof of Theorem ltlesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlesd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltlesd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ))
4		ltlesd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
5		ltsasym 27728	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))
6	3, 4, 5	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 <s 𝐴)
7		lenlts 27732	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	1, 2, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	6, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   No csur 27619   <s clts 27620   ≤s cles 27724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-les 27725

This theorem is referenced by:  ltlesnd  27755  lemulsd  28146  mulsge0d  28154  mulsuniflem  28157  ltmuls12ad  28191  ltonold  28269  oncutlt  28272  onnolt  28274  n0sge0  28346  uzsind  28413  halfcut  28466  bdaypw2n0bndlem  28471  bdayfinbndlem1  28475  elreno2  28503  1reno  28505