Theorem ltlesd 28160

Description: Surreal less-than implies less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
ltlesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
ltlesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltlesd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

Proof of Theorem ltlesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlesd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		ltlesd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3	1, 2	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No))
4		ltlesd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
5		ltsasym 28135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))
6	3, 4, 5	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 <s 𝐴)
7		lenlts 28139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
9	6, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  Nocsur 28027   <s clts 28028   ≤s cles 28131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-les 28132

This theorem is used by:  ltlesnd  28162  lemulsd  28554  mulsge0d  28562  mulsuniflem  28565  ltmuls12ad  28599  ltonold  28677  oncutlt  28680  onnolt  28682  n0sge0  28754  uzsind  28821  halfcut  28874  bdaypw2n0bndlem  28879  bdayfinbndlem1  28883  elreno2  28911  1reno  28913