Theorem lesid 27735

Description: Surreal less-than or equal is reflexive. Theorem 0(iii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lesid	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Proof of Theorem lesid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsirr 27714	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2		lenlts 27720	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
3	2	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
4	1, 3	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098   No csur 27607   <s clts 27608   ≤s cles 27712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-les 27713

This theorem is referenced by:  maxs1  27737  maxs2  27738  mins1  27739  mins2  27740  0lt1s  27808  cofcutrtime  27923  cofss  27926  coiniss  27927  cutlt  27928  cutmax  27930  cutmin  27931  lemulsd  28134  mulsge0d  28142  lemuls1ad  28178  abs0s  28238  leabss  28244  oncutlt  28260  n0sge0  28334  n0fincut  28351  uzsind  28401  zcuts  28403  zsoring  28405  halfcut  28454  addhalfcut  28455  1reno  28493