Theorem lesid 28154

Description: Surreal less-than or equal is reflexive. Theorem 0(iii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lesid	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Proof of Theorem lesid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsirr 28133	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2		lenlts 28139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
3	2	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
4	1, 3	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  Nocsur 28027   <s clts 28028   ≤s cles 28131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-les 28132

This theorem is used by:  maxs1  28156  maxs2  28157  mins1  28158  mins2  28159  0lt1s  28228  cofcutrtime  28343  cofss  28346  coiniss  28347  cutlt  28348  cutmax  28350  cutmin  28351  lemulsd  28554  mulsge0d  28562  lemuls1ad  28598  abs0s  28658  leabss  28664  oncutlt  28680  n0sge0  28754  n0fincut  28771  uzsind  28821  zcuts  28823  zsoring  28825  halfcut  28874  addhalfcut  28875  1reno  28913