Theorem lesid 28011

Description: Surreal less-than or equal is reflexive. Theorem 0(iii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lesid	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Proof of Theorem lesid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsirr 27990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2		lenlts 27996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
3	2	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
4	1, 3	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   No csur 27884   <s clts 27885   ≤s cles 27988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27887  df-lts 27888  df-les 27989

This theorem is used by:  maxs1  28013  maxs2  28014  mins1  28015  mins2  28016  0lt1s  28085  cofcutrtime  28200  cofss  28203  coiniss  28204  cutlt  28205  cutmax  28207  cutmin  28208  lemulsd  28411  mulsge0d  28419  lemuls1ad  28455  abs0s  28515  leabss  28521  oncutlt  28537  n0sge0  28611  n0fincut  28628  uzsind  28678  zcuts  28680  zsoring  28682  halfcut  28731  addhalfcut  28732  1reno  28770