Theorem lesid 27889

Description: Surreal less-than or equal is reflexive. Theorem 0(iii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lesid	⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Proof of Theorem lesid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsirr 27868	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2		lenlts 27874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
3	2	anidms 576	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
4	1, 3	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105   No csur 27762   <s clts 27763   ≤s cles 27866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-1o 8441  df-2o 8442  df-no 27765  df-lts 27766  df-les 27867

This theorem is referenced by:  maxs1  27891  maxs2  27892  mins1  27893  mins2  27894  0lt1s  27963  cofcutrtime  28078  cofss  28081  coiniss  28082  cutlt  28083  cutmax  28085  cutmin  28086  lemulsd  28289  mulsge0d  28297  lemuls1ad  28333  abs0s  28393  leabss  28399  oncutlt  28415  n0sge0  28489  n0fincut  28506  uzsind  28556  zcuts  28558  zsoring  28560  halfcut  28609  addhalfcut  28610  1reno  28648