Theorem om2noseqlt2 28281

Description: The mapping 𝐺 preserves order. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqlt2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqlt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqlt 28280	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
5	1, 2, 3	om2noseqlt 28280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴)))
6	5	ancom2s 651	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴)))
7		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)))
9	6, 8	orim12d 967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
10		nnon 7816	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
11		nnon 7816	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
12		onsseleq 6359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
13		ontri1 6352	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	12, 13	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	10, 11, 14	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
17	1, 2, 3	om2noseqfo 28279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
18		fof 6747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
20	3, 1	noseqssno 28275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
21	19, 20	fssd 6680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
22	21	ffvelcdmda 7031	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘𝐵) ∈ No )
23	22	adantrl 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐺‘𝐵) ∈ No )
24	21	ffvelcdmda 7031	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
25	24	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
26		sleloe 27726	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No ) → ((𝐺‘𝐵) ≤s (𝐺‘𝐴) ↔ ((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
27		slenlt 27724	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No ) → ((𝐺‘𝐵) ≤s (𝐺‘𝐴) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
28	26, 27	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No ) → (((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
29	23, 25, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
30	9, 16, 29	3imtr3d 293	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
31	4, 30	impcon4bid 227	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5627   “ cima 5628  Oncon0 6318  ⟶wf 6489  –onto→wfo 6491  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ωcom 7810  reccrdg 8342   No csur 27611   <s cslt 27612   ≤s csle 27716   1_s c1s 27804   +_s cadds 27941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-nadd 8596  df-no 27614  df-slt 27615  df-bday 27616  df-sle 27717  df-sslt 27758  df-scut 27760  df-0s 27805  df-1s 27806  df-made 27825  df-old 27826  df-left 27828  df-right 27829  df-norec2 27931  df-adds 27942

This theorem is referenced by:  om2noseqiso  28283