Theorem om2noseqlt2 28568

Description: The mapping 𝐺 preserves order. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqlt2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqlt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqlt 28567	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
5	1, 2, 3	om2noseqlt 28567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴)))
6	5	ancom2s 663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴)))
7		fveq2 6879	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)))
9	6, 8	orim12d 979	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
10		nnon 7869	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
11		nnon 7869	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
12		onsseleq 6399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
13		ontri1 6392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	12, 13	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	10, 11, 14	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
16	15	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
17	1, 2, 3	om2noseqfo 28566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
18		fof 6790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
20	3, 1	noseqssno 28562	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
21	19, 20	fssd 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
22	21	ffvelcdmda 7078	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘𝐵) ∈ No )
23	22	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐺‘𝐵) ∈ No )
24	21	ffvelcdmda 7078	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
25	24	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
26		lesloe 27993	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No ) → ((𝐺‘𝐵) ≤s (𝐺‘𝐴) ↔ ((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
27		lenlts 27991	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No ) → ((𝐺‘𝐵) ≤s (𝐺‘𝐴) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
28	26, 27	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No ) → (((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
29	23, 25, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
30	9, 16, 29	3imtr3d 296	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
31	4, 30	impcon4bid 230	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Oncon0 6357  ⟶wf 6529  –onto→wfo 6531  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ωcom 7863  reccrdg 8399   No csur 27879   <s clts 27880   ≤s cles 27983   1_s c1s 28074   +_s cadds 28227

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-nadd 8657  df-no 27882  df-lts 27883  df-bday 27884  df-les 27984  df-slts 28026  df-cuts 28028  df-0s 28075  df-1s 28076  df-made 28095  df-old 28096  df-left 28098  df-right 28099  df-norec2 28217  df-adds 28228

This theorem is used by:  om2noseqiso  28570