Theorem om2noseqlt2 28246

Description: The mapping 𝐺 preserves order. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqlt2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqlt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		om2noseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqlt 28245	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
5	1, 2, 3	om2noseqlt 28245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴)))
6	5	ancom2s 650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴)))
7		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)))
9	6, 8	orim12d 966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
10		nnon 7867	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
11		nnon 7867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
12		onsseleq 6393	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
13		ontri1 6386	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	12, 13	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	10, 11, 14	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
17	1, 2, 3	om2noseqfo 28244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
18		fof 6790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
20	3, 1	noseqssno 28240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
21	19, 20	fssd 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
22	21	ffvelcdmda 7074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘𝐵) ∈ No )
23	22	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐺‘𝐵) ∈ No )
24	21	ffvelcdmda 7074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
25	24	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
26		sleloe 27718	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No ) → ((𝐺‘𝐵) ≤s (𝐺‘𝐴) ↔ ((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
27		slenlt 27716	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No ) → ((𝐺‘𝐵) ≤s (𝐺‘𝐴) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
28	26, 27	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No ) → (((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
29	23, 25, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
30	9, 16, 29	3imtr3d 293	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
31	4, 30	impcon4bid 227	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   ↾ cres 5656   “ cima 5657  Oncon0 6352  ⟶wf 6527  –onto→wfo 6529  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ωcom 7861  reccrdg 8423   No csur 27603   <s cslt 27604   ≤s csle 27708   1_s c1s 27787   +_s cadds 27918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-nadd 8678  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sle 27709  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-0s 27788  df-1s 27789  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec2 27908  df-adds 27919

This theorem is referenced by:  om2noseqiso  28248