Theorem om2noseqlt2 28686

Description: The mapping 𝐺 preserves order. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqlt2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqlt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2noseq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
2		om2noseq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
3		om2noseq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
4	1, 2, 3	om2noseqlt 28685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
5	1, 2, 3	om2noseqlt 28685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴)))
6	5	ancom2s 663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴)))
7		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)))
9	6, 8	orim12d 979	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
10		nnon 7883	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
11		nnon 7883	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
12		onsseleq 6404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
13		ontri1 6397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	12, 13	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	10, 11, 14	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
16	15	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
17	1, 2, 3	om2noseqfo 28684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
18		fof 6796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
20	3, 1	noseqssno 28680	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No)
21	19, 20	fssd 6727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶No)
22	21	ffvelcdmda 7084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐺‘𝐵) ∈ No)
23	22	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐺‘𝐵) ∈ No)
24	21	ffvelcdmda 7084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) ∈ No)
25	24	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐺‘𝐴) ∈ No)
26		lesloe 28111	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No) → ((𝐺‘𝐵) ≤s (𝐺‘𝐴) ↔ ((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
27		lenlts 28109	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No) → ((𝐺‘𝐵) ≤s (𝐺‘𝐴) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
28	26, 27	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ No ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ No) → (((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
29	23, 25, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (((𝐺‘𝐵) <s (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
30	9, 16, 29	3imtr3d 296	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
31	4, 30	impcon4bid 230	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Oncon0 6362  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877  reccrdg 8417  Nocsur 27997   <s clts 27998   ≤s cles 28101   1_s c1s 28192   +_s cadds 28345

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-nadd 8675  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-1s 28194  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217  df-norec2 28335  df-adds 28346

This theorem is used by:  om2noseqiso  28688