Theorem ltlestr 28150

Description: Surreal transitive law. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltlestr	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

Proof of Theorem ltlestr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlts 28142	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
2	1	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
3	2	anbi2d 642	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵)))
4		ltsso 28066	. . 3 ⊢ <s Or No
5		sotr3 5605	. . 3 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No)) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐶))
6	4, 5	mpan 703	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 6	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   Or wor 5563  Nocsur 28030   <s clts 28031   ≤s cles 28134

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 28033  df-lts 28034  df-les 28135

This theorem is used by:  lestr  28152  ltlestrd  28154