Theorem brxp 5726

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5150	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5713	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 275	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   × cxp 5675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683

This theorem is referenced by:  brrelex12  5729  brel  5742  brinxp2  5754  eqbrrdva  5870  ssrelrn  5895  xpidtr  6124  xpco  6289  dfpo2  6296  predtrss  6324  isocnv3  7329  tpostpos  8231  swoer  8733  erinxp  8785  ecopover  8815  infxpenlem  10008  fpwwe2lem5  10630  fpwwe2lem6  10631  fpwwe2lem8  10633  fpwwe2lem11  10636  fpwwe2lem12  10637  fpwwe2  10638  ltxrlt  11284  ltxr  13095  xpcogend  14921  invfuc  17927  elhoma  17982  efglem  19584  gsumcom3fi  19847  gsumdixp  20131  znleval  21110  gsumbagdiagOLD  21492  psrass1lemOLD  21493  gsumbagdiag  21495  psrass1lem  21496  opsrtoslem2  21617  slenlt  27255  brelg  31838  posrasymb  32135  trleile  32141  ecxpid  32472  qusxpid  32475  metider  32874  satefvfmla1  34416  mclsppslem  34574  xpab  34695  dfon3  34864  brbigcup  34870  brsingle  34889  brimage  34898  brcart  34904  brapply  34910  brcup  34911  brcap  34912  funpartlem  34914  dfrdg4  34923  brub  34926  bj-xpcossxp  36070  itg2gt0cn  36543  grucollcld  43019  grumnud  43045