Theorem brxp 5701

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5106	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5688	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105   × cxp 5650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658

This theorem is referenced by:  brrelex12  5704  brel  5717  brinxp2  5730  eqbrrdva  5846  ssrelrn  5875  dmxp  5910  xpidtr  6113  xpco  6280  dfpo2  6287  predtrss  6313  isocnv3  7320  tpostpos  8230  brinxper  8712  swoer  8714  erinxp  8777  ecopover  8807  infxpenlem  9985  fpwwe2lem5  10608  fpwwe2lem6  10609  fpwwe2lem8  10611  fpwwe2lem11  10614  fpwwe2lem12  10615  fpwwe2  10616  ltxrlt  11268  ltxr  13131  xpcogend  15001  invfuc  18024  elhoma  18079  ecxpid  19233  qusxpid  19242  efglem  19777  gsumcom3fi  20040  gsumdixp  20391  znleval  21664  gsumbagdiag  22042  psrass1lem  22043  opsrtoslem2  22167  lenlts  27874  zsoring  28560  brelg  32864  posrasymb  33200  trleile  33204  metider  34201  satefvfmla1  35788  mclsppslem  35946  xpab  36089  dfon3  36253  brbigcup  36259  brsingle  36278  brimage  36287  brcart  36293  brapply  36299  brcup  36300  brcap  36301  funpartlem  36305  dfrdg4  36314  brub  36317  bj-xpcossxp  37693  itg2gt0cn  38186  grucollcld  44834  grumnud  44860  coxp  49462  xpco2  49486