Theorem brxp 5636

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5075	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5625	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 274	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   × cxp 5587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595

This theorem is referenced by:  brrelex12  5639  brel  5652  brinxp2  5664  eqbrrdva  5778  ssrelrn  5803  xpidtr  6027  xpco  6192  dfpo2  6199  predtrss  6225  isocnv3  7203  tpostpos  8062  swoer  8528  erinxp  8580  ecopover  8610  infxpenlem  9769  fpwwe2lem5  10391  fpwwe2lem6  10392  fpwwe2lem8  10394  fpwwe2lem11  10397  fpwwe2lem12  10398  fpwwe2  10399  ltxrlt  11045  ltxr  12851  xpcogend  14685  invfuc  17692  elhoma  17747  efglem  19322  gsumcom3fi  19580  gsumdixp  19848  znleval  20762  gsumbagdiagOLD  21142  psrass1lemOLD  21143  gsumbagdiag  21145  psrass1lem  21146  opsrtoslem2  21263  brelg  30949  posrasymb  31243  trleile  31249  ecxpid  31556  qusxpid  31559  metider  31844  satefvfmla1  33387  mclsppslem  33545  xpab  33677  slenlt  33955  dfon3  34194  brbigcup  34200  brsingle  34219  brimage  34228  brcart  34234  brapply  34240  brcup  34241  brcap  34242  funpartlem  34244  dfrdg4  34253  brub  34256  bj-xpcossxp  35360  itg2gt0cn  35832  grucollcld  41878  grumnud  41904