Theorem brxp 5665

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5092	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5652	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 275	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4582   class class class wbr 5091   × cxp 5614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622

This theorem is referenced by:  brrelex12  5668  brel  5681  brinxp2  5694  eqbrrdva  5809  ssrelrn  5834  dmxp  5869  xpidtr  6069  xpco  6236  dfpo2  6243  predtrss  6269  isocnv3  7266  tpostpos  8176  brinxper  8651  swoer  8653  erinxp  8715  ecopover  8745  infxpenlem  9901  fpwwe2lem5  10523  fpwwe2lem6  10524  fpwwe2lem8  10526  fpwwe2lem11  10529  fpwwe2lem12  10530  fpwwe2  10531  ltxrlt  11180  ltxr  13011  xpcogend  14878  invfuc  17881  elhoma  17936  efglem  19626  gsumcom3fi  19889  gsumdixp  20235  znleval  21489  gsumbagdiag  21866  psrass1lem  21867  opsrtoslem2  21989  slenlt  27689  zsoring  28330  brelg  32585  posrasymb  32943  trleile  32947  ecxpid  33321  qusxpid  33323  metider  33902  satefvfmla1  35457  mclsppslem  35615  xpab  35758  dfon3  35925  brbigcup  35931  brsingle  35950  brimage  35959  brcart  35965  brapply  35971  brcup  35972  brcap  35973  funpartlem  35975  dfrdg4  35984  brub  35987  bj-xpcossxp  37222  itg2gt0cn  37714  grucollcld  44292  grumnud  44318  coxp  48863  xpco2  48887