Theorem brxp 5681

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5101	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5668	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 275	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   × cxp 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638

This theorem is referenced by:  brrelex12  5684  brel  5697  brinxp2  5710  eqbrrdva  5826  ssrelrn  5851  dmxp  5886  xpidtr  6087  xpco  6255  dfpo2  6262  predtrss  6288  isocnv3  7288  tpostpos  8198  brinxper  8675  swoer  8677  erinxp  8740  ecopover  8770  infxpenlem  9935  fpwwe2lem5  10558  fpwwe2lem6  10559  fpwwe2lem8  10561  fpwwe2lem11  10564  fpwwe2lem12  10565  fpwwe2  10566  ltxrlt  11215  ltxr  13041  xpcogend  14909  invfuc  17913  elhoma  17968  efglem  19657  gsumcom3fi  19920  gsumdixp  20266  znleval  21521  gsumbagdiag  21899  psrass1lem  21900  opsrtoslem2  22023  lenlts  27732  zsoring  28417  brelg  32696  posrasymb  33059  trleile  33063  ecxpid  33453  qusxpid  33455  metider  34071  satefvfmla1  35638  mclsppslem  35796  xpab  35939  dfon3  36103  brbigcup  36109  brsingle  36128  brimage  36137  brcart  36143  brapply  36149  brcup  36150  brcap  36151  funpartlem  36155  dfrdg4  36164  brub  36167  bj-xpcossxp  37438  itg2gt0cn  37920  grucollcld  44610  grumnud  44636  coxp  49186  xpco2  49210