Theorem brxp 5704

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5107	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5691	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   × cxp 5653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661

This theorem is used by:  brrelex12  5707  brel  5720  brinxp2  5734  eqbrrdva  5854  ssrelrn  5883  dmxp  5918  xpidtr  6128  cnvxp  6159  xpco  6310  dfpo2  6317  predtrss  6343  isocnv3  7363  tpostpos  8291  brinxper  8775  swoer  8777  erinxp  8840  ecopover  8870  infxpenlem  10119  fpwwe2lem5  10747  fpwwe2lem6  10748  fpwwe2lem8  10750  fpwwe2lem11  10753  fpwwe2lem12  10754  fpwwe2  10755  ltxrlt  11407  ltxr  13271  xpcogend  15156  invfuc  18181  elhoma  18236  ecxpid  19415  qusxpid  19424  efglem  19960  gsumcom3fi  20223  gsumdixp  20578  znleval  21890  gsumbagdiag  22270  psrass1lem  22271  opsrtoslem2  22395  lenlts  28139  zsoring  28825  brelg  33273  posrasymb  33598  trleile  33602  metider  34596  satefvfmla1  36357  mclsppslem  36515  xpab  36669  dfon3  36832  brbigcup  36838  brsingle  36857  brimage  36866  brcart  36872  brapply  36878  brcup  36879  brcap  36880  funpartlem  36884  dfrdg4  36893  brub  36896  bj-xpcossxp  38302  itg2gt0cn  38785  grucollcld  45436  grumnud  45462  coxp  50149  xpco2  50173