Theorem brxp 5446

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4924	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5436	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 267	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∈ wcel 2048  ⟨cop 4441   class class class wbr 4923   × cxp 5398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pr 5180

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-br 4924  df-opab 4986  df-xp 5406

This theorem is referenced by:  brrelex12  5447  brel  5460  brinxp2  5472  eqbrrdva  5583  ssrelrn  5606  xpidtr  5816  xpco  5972  isocnv3  6902  tpostpos  7708  swoer  8111  erinxp  8163  ecopover  8193  infxpenlem  9225  fpwwe2lem6  9847  fpwwe2lem7  9848  fpwwe2lem9  9850  fpwwe2lem12  9853  fpwwe2lem13  9854  fpwwe2  9855  ltxrlt  10503  ltxr  12320  xpcogend  14185  xpsfrnel2  16684  invfuc  17092  elhoma  17140  efglem  18590  gsumdixp  19072  gsumbagdiag  19860  psrass1lem  19861  opsrtoslem2  19968  znleval  20393  gsumcom3fi  20703  brelg  30114  posrasymb  30354  trleile  30363  metider  30735  mclsppslem  32290  dfpo2  32451  slenlt  32692  dfon3  32814  brbigcup  32820  brsingle  32839  brimage  32848  brcart  32854  brapply  32860  brcup  32861  brcap  32862  funpartlem  32864  dfrdg4  32873  brub  32876  itg2gt0cn  34336  grucollcld  39916  grumnud  39942