Theorem brxp 5700

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5104	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5687	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   × cxp 5649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657

This theorem is used by:  brrelex12  5703  brel  5716  brinxp2  5729  eqbrrdva  5847  ssrelrn  5876  dmxp  5911  xpidtr  6116  cnvxp  6147  xpco  6293  dfpo2  6300  predtrss  6326  isocnv3  7341  tpostpos  8264  brinxper  8748  swoer  8750  erinxp  8813  ecopover  8843  infxpenlem  10093  fpwwe2lem5  10721  fpwwe2lem6  10722  fpwwe2lem8  10724  fpwwe2lem11  10727  fpwwe2lem12  10728  fpwwe2  10729  ltxrlt  11381  ltxr  13245  xpcogend  15128  invfuc  18153  elhoma  18208  ecxpid  19387  qusxpid  19396  efglem  19931  gsumcom3fi  20194  gsumdixp  20549  znleval  21861  gsumbagdiag  22241  psrass1lem  22242  opsrtoslem2  22366  lenlts  28110  zsoring  28796  brelg  33202  posrasymb  33529  trleile  33533  metider  34527  satefvfmla1  36191  mclsppslem  36349  xpab  36492  dfon3  36655  brbigcup  36661  brsingle  36680  brimage  36689  brcart  36695  brapply  36701  brcup  36702  brcap  36703  funpartlem  36707  dfrdg4  36716  brub  36719  bj-xpcossxp  38112  itg2gt0cn  38595  grucollcld  45245  grumnud  45271  coxp  49944  xpco2  49968