Theorem brxp 5700

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5104	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5687	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   × cxp 5649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657

This theorem is used by:  brrelex12  5703  brel  5716  brinxp2  5729  eqbrrdva  5847  ssrelrn  5876  dmxp  5911  xpidtr  6114  cnvxp  6146  xpco  6285  dfpo2  6292  predtrss  6318  isocnv3  7332  tpostpos  8247  brinxper  8731  swoer  8733  erinxp  8796  ecopover  8826  infxpenlem  10073  fpwwe2lem5  10701  fpwwe2lem6  10702  fpwwe2lem8  10704  fpwwe2lem11  10707  fpwwe2lem12  10708  fpwwe2  10709  ltxrlt  11361  ltxr  13225  xpcogend  15107  invfuc  18132  elhoma  18187  ecxpid  19366  qusxpid  19375  efglem  19910  gsumcom3fi  20173  gsumdixp  20528  znleval  21840  gsumbagdiag  22220  psrass1lem  22221  opsrtoslem2  22345  lenlts  28091  zsoring  28777  brelg  33183  posrasymb  33510  trleile  33514  metider  34508  satefvfmla1  36159  mclsppslem  36317  xpab  36460  dfon3  36624  brbigcup  36630  brsingle  36649  brimage  36658  brcart  36664  brapply  36670  brcup  36671  brcap  36672  funpartlem  36676  dfrdg4  36685  brub  36688  bj-xpcossxp  38078  itg2gt0cn  38561  grucollcld  45203  grumnud  45229  coxp  49887  xpco2  49911