Theorem brxp 5627

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5071	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5616	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 274	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   × cxp 5578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586

This theorem is referenced by:  brrelex12  5630  brel  5643  brinxp2  5655  eqbrrdva  5767  ssrelrn  5792  xpidtr  6016  xpco  6181  dfpo2  6188  predtrss  6214  isocnv3  7183  tpostpos  8033  swoer  8486  erinxp  8538  ecopover  8568  infxpenlem  9700  fpwwe2lem5  10322  fpwwe2lem6  10323  fpwwe2lem8  10325  fpwwe2lem11  10328  fpwwe2lem12  10329  fpwwe2  10330  ltxrlt  10976  ltxr  12780  xpcogend  14613  invfuc  17608  elhoma  17663  efglem  19237  gsumcom3fi  19495  gsumdixp  19763  znleval  20674  gsumbagdiagOLD  21052  psrass1lemOLD  21053  gsumbagdiag  21055  psrass1lem  21056  opsrtoslem2  21173  brelg  30850  posrasymb  31145  trleile  31151  ecxpid  31458  qusxpid  31461  metider  31746  satefvfmla1  33287  mclsppslem  33445  xpab  33579  slenlt  33882  dfon3  34121  brbigcup  34127  brsingle  34146  brimage  34155  brcart  34161  brapply  34167  brcup  34168  brcap  34169  funpartlem  34171  dfrdg4  34180  brub  34183  bj-xpcossxp  35287  itg2gt0cn  35759  grucollcld  41767  grumnud  41793