Theorem brxp 5583

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5040	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5572	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4533   class class class wbr 5039   × cxp 5534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-xp 5542

This theorem is referenced by:  brrelex12  5586  brel  5599  brinxp2  5611  eqbrrdva  5723  ssrelrn  5748  xpidtr  5967  xpco  6132  isocnv3  7119  tpostpos  7966  swoer  8399  erinxp  8451  ecopover  8481  infxpenlem  9592  fpwwe2lem5  10214  fpwwe2lem6  10215  fpwwe2lem8  10217  fpwwe2lem11  10220  fpwwe2lem12  10221  fpwwe2  10222  ltxrlt  10868  ltxr  12672  xpcogend  14502  invfuc  17437  elhoma  17492  efglem  19060  gsumcom3fi  19318  gsumdixp  19581  znleval  20473  gsumbagdiagOLD  20852  psrass1lemOLD  20853  gsumbagdiag  20855  psrass1lem  20856  opsrtoslem2  20967  brelg  30622  posrasymb  30916  trleile  30922  ecxpid  31224  qusxpid  31227  metider  31512  satefvfmla1  33054  mclsppslem  33212  xpab  33346  dfpo2  33392  slenlt  33641  dfon3  33880  brbigcup  33886  brsingle  33905  brimage  33914  brcart  33920  brapply  33926  brcup  33927  brcap  33928  funpartlem  33930  dfrdg4  33939  brub  33942  bj-xpcossxp  35044  itg2gt0cn  35518  grucollcld  41492  grumnud  41518