Theorem brxp 5668

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5094	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5655	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 275	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   × cxp 5617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625

This theorem is referenced by:  brrelex12  5671  brel  5684  brinxp2  5697  eqbrrdva  5813  ssrelrn  5838  dmxp  5873  xpidtr  6073  xpco  6241  dfpo2  6248  predtrss  6274  isocnv3  7272  tpostpos  8182  brinxper  8657  swoer  8659  erinxp  8721  ecopover  8751  infxpenlem  9911  fpwwe2lem5  10533  fpwwe2lem6  10534  fpwwe2lem8  10536  fpwwe2lem11  10539  fpwwe2lem12  10540  fpwwe2  10541  ltxrlt  11190  ltxr  13016  xpcogend  14883  invfuc  17886  elhoma  17941  efglem  19630  gsumcom3fi  19893  gsumdixp  20239  znleval  21493  gsumbagdiag  21870  psrass1lem  21871  opsrtoslem2  21992  slenlt  27692  zsoring  28333  brelg  32592  posrasymb  32955  trleile  32959  ecxpid  33333  qusxpid  33335  metider  33928  satefvfmla1  35490  mclsppslem  35648  xpab  35791  dfon3  35955  brbigcup  35961  brsingle  35980  brimage  35989  brcart  35995  brapply  36001  brcup  36002  brcap  36003  funpartlem  36007  dfrdg4  36016  brub  36019  bj-xpcossxp  37254  itg2gt0cn  37735  grucollcld  44377  grumnud  44403  coxp  48957  xpco2  48981