Theorem brxp 5708

Description: Binary relation on a Cartesian product. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
brxp	⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5108	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2		opelxp 5695	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   × cxp 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665

This theorem is used by:  brrelex12  5711  brel  5724  brinxp2  5737  eqbrrdva  5853  ssrelrn  5882  dmxp  5917  xpidtr  6120  cnvxp  6152  xpco  6291  dfpo2  6298  predtrss  6324  isocnv3  7337  tpostpos  8248  brinxper  8730  swoer  8732  erinxp  8795  ecopover  8825  infxpenlem  10020  fpwwe2lem5  10648  fpwwe2lem6  10649  fpwwe2lem8  10651  fpwwe2lem11  10654  fpwwe2lem12  10655  fpwwe2  10656  ltxrlt  11308  ltxr  13170  xpcogend  15051  invfuc  18072  elhoma  18127  ecxpid  19305  qusxpid  19314  efglem  19849  gsumcom3fi  20112  gsumdixp  20465  znleval  21773  gsumbagdiag  22153  psrass1lem  22154  opsrtoslem2  22278  lenlts  27996  zsoring  28682  brelg  33088  posrasymb  33415  trleile  33419  metider  34412  satefvfmla1  36012  mclsppslem  36170  xpab  36313  dfon3  36477  brbigcup  36483  brsingle  36502  brimage  36511  brcart  36517  brapply  36523  brcup  36524  brcap  36525  funpartlem  36529  dfrdg4  36538  brub  36541  bj-xpcossxp  37949  itg2gt0cn  38432  grucollcld  45092  grumnud  45118  coxp  49769  xpco2  49793