Theorem lesloe 27795

Description: Surreal less-than or equal in terms of less-than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lesloe	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem lesloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlts 27793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
2		orcom 881	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
3		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
4	3	orbi1i 924	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
5	2, 4	bitri 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
6		ltsso 27717	. . . . . 6 ⊢ <s Or No
7		sotric 5583	. . . . . 6 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No )) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
8	6, 7	mpan 700	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
9	8	ancoms 462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
10	9	con2bid 356	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
11	5, 10	bitrid 285	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
12	1, 11	bitr4d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099   Or wor 5552   No csur 27681   <s clts 27682   ≤s cles 27785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-1o 8432  df-2o 8433  df-no 27684  df-lts 27685  df-les 27786

This theorem is referenced by:  lesloed  27799  ltlesnd  27816  leslss  27979  lemulsd  28208  mulsge0d  28216  lemuls1ad  28252  abssnid  28313  om2noseqlt2  28370  elnns2  28411  eucliddivs  28446  bdaypw2n0bndlem  28533  bdayfinbndlem1  28537