Theorem lesloe 28116

Description: Surreal less-than or equal in terms of less-than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lesloe	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem lesloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlts 28114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
2		orcom 884	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
3		eqcom 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
4	3	orbi1i 927	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
5	2, 4	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
6		ltsso 28038	. . . . . 6 ⊢ <s Or No
7		sotric 5588	. . . . . 6 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No)) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
9	8	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
10	9	con2bid 357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
11	5, 10	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
12	1, 11	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   Or wor 5557  Nocsur 28002   <s clts 28003   ≤s cles 28106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-les 28107

This theorem is used by:  lesloed  28120  ltlesnd  28137  leslss  28300  lemulsd  28529  mulsge0d  28537  lemuls1ad  28573  abssnid  28634  om2noseqlt2  28691  elnns2  28732  eucliddivs  28767  bdaypw2n0bndlem  28854  bdayfinbndlem1  28858