Theorem lesloe 27955

Description: Surreal less-than or equal in terms of less-than. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lesloe	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem lesloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlts 27953	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
2		orcom 884	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
3		eqcom 2773	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐴)
4	3	orbi1i 927	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
5	2, 4	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵))
6		ltsso 27877	. . . . . 6 ⊢ <s Or No
7		sotric 5604	. . . . . 6 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No )) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
9	8	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵)))
10	9	con2bid 357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 <s 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
11	5, 10	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
12	1, 11	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114   Or wor 5573   No csur 27841   <s clts 27842   ≤s cles 27945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27844  df-lts 27845  df-les 27946

This theorem is used by:  lesloed  27959  ltlesnd  27976  leslss  28139  lemulsd  28368  mulsge0d  28376  lemuls1ad  28412  abssnid  28473  om2noseqlt2  28530  elnns2  28571  eucliddivs  28606  bdaypw2n0bndlem  28693  bdayfinbndlem1  28697