Theorem lesubsubsbd 28259

Description: Equivalence for the surreal less-than or equal relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubsubsbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltsubsubsbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltsubsubsbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltsubsubsbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
lesubsubsbd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷)))

Proof of Theorem lesubsubsbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubsubsbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		ltsubsubsbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		ltsubsubsbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
4		ltsubsubsbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	1, 2, 3, 4	ltsubsubs3bd 28258	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
6	5	notbid 321	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ ¬ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
7	2, 4	subscld 28236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
8	1, 3	subscld 28236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
9		lenlts 27896	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 -s 𝐷) ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
10	7, 8, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
11	2, 1	subscld 28236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
12	4, 3	subscld 28236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) ∈ No )
13		lenlts 27896	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐵) ∈ No ∧ (𝐶 -s 𝐷) ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
15	6, 10, 14	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114  (class class class)co 7414   No csur 27784   <s clts 27785   ≤s cles 27888   -_s csubs 28193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-1o 8456  df-2o 8457  df-nadd 8655  df-no 27787  df-lts 27788  df-bday 27789  df-les 27889  df-slts 27931  df-cuts 27933  df-0s 27980  df-made 28000  df-old 28001  df-left 28003  df-right 28004  df-norec 28111  df-norec2 28122  df-adds 28133  df-negs 28194  df-subs 28195

This theorem is referenced by:  mulsuniflem  28322