Theorem lesubsubsbd 28237

Description: Equivalence for the surreal less-than or equal relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubsubsbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltsubsubsbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltsubsubsbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltsubsubsbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
lesubsubsbd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷)))

Proof of Theorem lesubsubsbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubsubsbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		ltsubsubsbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		ltsubsubsbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
4		ltsubsubsbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	1, 2, 3, 4	ltsubsubs3bd 28236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
6	5	notbid 321	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ ¬ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
7	2, 4	subscld 28214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
8	1, 3	subscld 28214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
9		lenlts 27874	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 -s 𝐷) ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
10	7, 8, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
11	2, 1	subscld 28214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
12	4, 3	subscld 28214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐷) ∈ No )
13		lenlts 27874	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐵) ∈ No ∧ (𝐶 -s 𝐷) ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐶 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐵)))
15	6, 10, 14	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐴 -s 𝐵) ≤s (𝐶 -s 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400   No csur 27762   <s clts 27763   ≤s cles 27866   -_s csubs 28171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-1o 8441  df-2o 8442  df-nadd 8640  df-no 27765  df-lts 27766  df-bday 27767  df-les 27867  df-slts 27909  df-cuts 27911  df-0s 27958  df-made 27978  df-old 27979  df-left 27981  df-right 27982  df-norec 28089  df-norec2 28100  df-adds 28111  df-negs 28172  df-subs 28173

This theorem is referenced by:  mulsuniflem  28300